§ 13.6. Теорема Картана—Брауэра—Хуа

О подполях центральных простых алгебр существует больше вопросов, чем теорем. Некоторые из наиболее важных проблем

касаются взаимосвязи между группой обратимых элементов алгебры и мультипликативными подгруппами ее подполей. Теорема Картана-Брауэра-Хуа относится к одному из аспектов этой темы.

Лемма. Пусть бесконечное поле и А - конечномерная F-алгебра. Если то существует элемент такой, что а обратим в алгебре А. В частности, каждый элемент алгебры А является суммой обратимых элементов в А.

Доказательство этого утверждения намечено в упр. 1. Определим для подмножества X алгебры А нормализатор X

Очевидно, что подгруппа группы

Теорема Картана — Брауэра — Пусть бесконечное поле. Если подалгебра алгебры А, такая, что алгебра с делением и нормальная подгруппа группы то либо либо

Доказательство. Предположение о нормальности влечет за собой

Для получения противоречия предположим, что Ввиду последнего утверждения леммы Кроме того, поскольку из следует по теореме о двойном централизаторе, что Значит, (см. упр. 2). Пусть Так как то из (1) вытекает существование таких элементов что

В силу леммы для некоторого а Следовательно, в силу при некотором Из этого равенства с учетом условий (2) вытекает, что

Так как в алгебре то Следовательно, что противоречит выбору

Следствие а. Пусть — алгебра с делением. Если подполе алгебры являющееся собственным расширением то множество порождает как F-алгебру.

Доказательство. Из существования алгебры с делением степени вскоре будет показано) вытекает бесконечность поля Пусть А — подалгебра в порождаемая множеством По лемме 13.1b А — алгебра с делением, причем Из определения алгебры А вытекает, что нормальная подгруппа группы Следовательно,

Грубо говоря, это следствие означает, что если собственное расширение поля F можно вложить в алгебру с делением то сопряженные с поля образуют «плотное» подмножество в Сходное свойство характеризует алгебры с делением с единственным максимальным подполем.

Предложение. Пусть алгебра с делением и максимальное подполе алгебры Для того чтобы все максимальные подполя алгебры были изоморфны необходимо и достаточно, чтобы расширение было сепарабельным и

Доказательство. Если все максимальные подполя в изоморфны, то сепарабельно ввиду предложения 13.5. Кроме того, каждый элемент содержится в некотором максимальном подполе К алгебры Так как то в силу теоремы Нётер — Сколема при некотором Значит, Обратно, предположим, что расширение сепарабельно и Пусть тогда для подходящего Следовательно, элемент у сепарабелен над Отсюда следует, что всякое максимальное подполе алгебры имеет вид для некоторого а так как то ввиду максимальности

Из условия для некоторого максимального подполя алгебры следует, что мультипликативная группа содержит абелеву подгруппу такую, что есть объединение всех сопряженных с подгрупп. Простое вычислительное рассуждение (эскиз которого дан в упр. 3) показывает, что не существует конечных неабелевых групп, удовлетворяющих этому условию. Следовательно, из доказанного предложения вытекает другой замечательный результат Веддербёрна.

Теорема Веддербёрна о конечных алгебрах с делением.

Всякая конечная алгебра с делением является полем.

Доказательство. Пусть конечная алгебра с делением и центром Тогда Все максимальные подполя алгебры конечные поля, состоящие из элементов, где Так как конечные поля с одинаковым числом элементов изоморфны, то из нашего предложения вытекает, что где максимальное подполе алгебры

Поскольку конечная группа, то предыдущее возможно лишь в случае, когда абелева, т. е.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 13

Наше изложение подполей и полей разложения простых алгебр следует классическому в двух отношениях: рассматривались только конечномерные алгебры и все подполя алгебр содержали их центры. При обсуждении вопросов, связанных с максимальными подполями центральных простых алгебр, не являющихся алгебрами с делением, мы не были столь ортодоксальны. Это стремление к максимальной общности привело к необходимости рассматривать несколько неестественный класс -замкнутых полей. Все же такие поля существуют, и понятие -замыкания возникает при изучении структуры группы Брауэра. Теорема Картана-Брауэра - Хуа обычно формулируется для подалгебр алгебр с делением. Несмотря на то что наша формулировка является более общей, она далеко не исчерпывает того, что известно о нормальных подгруппах группы при Изящное изложение этой темы имеется в гл. IV книги Артина [6]. Пример из упражнения § 13.3 принадлежит Брауэру и Нётер (119]).