§ 17.3. Кольца нормирования

Пример в § 17.2 справедливо наводит на мысль о том, что существует тесная связь между неархимедовыми нормированиями алгебры с делением и некоторыми ее подкольцами. Эти подкольца называются кольцами нормирования. Они играют большую роль в теории нормирований.

Лемма. Пусть неархимедово нормирование алгебры Если то - подкольцо алгебры являющееся локальной -алгеброй с радикалом Джекобсона Кроме того, алгебра с делением.

Доказательство. Если то так что Аналогично, из включения следует, что Так как, кроме того, то подкольцо алгебры его идеал. Пусть Тогда Таким образом, Обратно, если то и Следовательно,

В частности, множество замкнуто относительно сложения, локальное кольцо и алгебра с делением.

Пусть нормирование алгебры с делением Положим

и

Если неархимедово нормирование, то эти множества мы будем называть соответственно кольцом нормирования и идеалом нормирования Ввиду леммы эта терминология корректна. В том случае, когда будет рассматриваться одна алгебра с делением или одно нормирование, мы будем писать просто или или

Если неархимедово нормирование алгебры с делением то называется алгеброй классов вычетов алгебры (В большинстве интересных для нас случаев алгебра оказывается коммутативной, т. е. полем.) Если это не будет приводить к путанице, мы будем писать вместо просто или Удобно (и так обычно делают) обозначать через х образ в алгебре элемента т. е. Кроме то через мы будем обозначать полином

Следующий результат показывает, что не изменяются при замене эквивалентным нормированием.

Предложение. Пусть нетривиальные нормирования алгебры с делением Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) - эквивалентные нормирования;

Доказательство. Если для некоторого числа то, очевидно, неравенство имеет место тогда и только

тогда, когда и только тогда, когда Поэтому достаточно показать, что условия влекут за собой эквивалентность нормирований Предположим, что Докажем сначала, что Если то для всех Так как нормирование нетривиально, то существует элемент такой, что Следовательно, для всех Так как то для всех Значит, т. е. Пусть причем Тогда Для натуральных чисел тип неравенство эквивалентно неравенству откуда Таким образом, неравенство имеет место тогда и только тогда, когда Следовательно, Поэтому для всех элементов таких, что где Теперь уже нетрудно видеть, что Наконец, если то Поэтому нормирования эквивалентны.

Следствие. Пусть область главных идеалов с полем частных Если нетривиальное неархимедово нормирование поля обладающее свойством для всех то существует неприводимый элемент такой, что эквивалентно нормированию и Кроме того, нормирования эквивалентны в том и только том случае, когда элементы, ассоциированы в

Доказательство. По предположению В силу леммы получаем, что ненулевой простой идеал кольца Поскольку область главных идеалов, то существует неприводимый элемент такой, что Если причем то где а

Поэтому Из этого замечания вытекает, что Следовательно, в силу предложения нормирование эквивалентно нормированию Ясно, что Если например где то из равенства вытекает, что Значит, Пусть нормирования эквивалентны. Тогда т. е. элементы

ассоциированы в Обратно, если элементы ассоциированы в то нормирования эквивалентны по определению.

Теорема, (i) Если неархимедово нормирование поля то эквивалентно нормированию для некоторого простого числа В этом случае

Если — архимедово нормирование поля то эквивалентно нормированию определяемому абсолютной величиной.

Доказательство. Если нормирование неархимедово, то в силу предложения 17.2 для всех Поэтому утверждение (i) является частным случаем предыдущего следствия. Пусть архимедово нормирование. В силу предложения 17.1 можно считать, что удовлетворяет условию треугольника. Ввиду доказанного выше предложения достаточно показать, что из следует, что Мы можем предполагать, что например где взаимно простые натуральные числа. Предположим, что т. е. Каждое натуральное число обладает представлением вида (см. упр. 1). В силу неравенства треугольника Из предложения 17.2 вытекает, что нормирование неархимедово, что противоречит предположению.

Упражнения

(см. скан)