§ 14.7. Ограничение

Если подполе поля К, то отображение вложения индуцирует гомоморфизм Если эти группы представляются в виде объединения относительных групп Брауэра, соответствующих группам когомологий, то гомоморфизм можно описать с помощью некоторых гомоморфизмов, являющихся стандартными в теории когомологий. Цель настоящего параграфа — определить эти гомоморфизмы и связать их с отображениями групп Брауэра.

Пусть — подгруппа конечной группы Если правый -модуль, то также правый -модуль, поскольку является подалгеброй алгебры Кроме того, тривиальное действие группы слева на элементы из превращает в -бимодуль или в -бимoдyль. Пусть есть -коцепь, рассматриваемая как отображение в Ограничение есть тогда элемент из Кограничный гомоморфизм, очевидно, удовлетворяет условию так что отображение переводит

Поэтому отображение индуцирует групповой гомоморфизм

который называется отображением ограничения. Явно он определяется так: для всех Для ясности мы будем обозначать отображение ограничения через

Представляющие для нас интерес отображения ограничения возникают при когда где расширение Галуа и К — промежуточное поле между Кроме того, в качестве как правило, будет фигурировать с обычной -бимодульной структурой. Заметим, что Легко проверяется, что — отображение вложения

Лемма а. Пусть расширение Галуа, подгруппа в поле неподвижных элементов относительно группы Если то где

Доказательство. В обозначениях § 14.1 , где для всех Так как подгруппа и то подалгебра алгебры изоморфная Если то Следовательно, Из теоремы о двойном централизаторе вытекает, что откуда В силу леммы

Предложение а. Пусть башня полей, причем расширение Галуа. Если — отображение вложения, то и диаграмма

коммутативна.

Доказательство. Если алгебра расщепляется полем то поле разложения и для поскольку Значит, Кроме того, если то

в силу леммы а.

Если башня полей, такая, что и расширения Галуа, то несложная проверка показывает, что следующая диаграмма коммутативна:

В упорядоченном множестве расширений Галуа поля К расширения Галуа поля F образуют конфинальное подмножество. Из этого замечания с учетом коммутативности предыдущей диаграммы вытекает, что семейство гомоморфизмов ограничения индуцирует гомоморфизм ограничения групп когомологий Галуа Ясно, что Легко проверяется, что если — отображение вложения, то — предел отображений расширение Галуа и Из предложения а вытекает, что диаграмма

коммутативна, если конечное сепарабельное расширение.

Нам потребуется более сильный вариант предложения а, основанный на элементарной теории полей. Пусть поля, содержащие подполе F и такие, что по крайней мере одна из степеней конечна. Они называются линейно разделенными над если поле. Когда подполя, содержащиеся в некотором поле конечна, то линейная разделенность над F эквивалентна тому, что композит (алгебр) является тензорным произведением над Действительно, поле, которое в силу предложения является гомоморфным образом алгебры так что является полем в том и только в том случае, когда это отображение — изоморфизм. В этом случае в силу предложения поля линейно разделены тогда и только тогда, когда всякий базис пространства является также базисом пространства т. е. Если, кроме того, расширение является расширением Галуа, то имеет место более точный результат.

Лемма Пусть подполя поля причем . Предположим, что расширение Галуа. Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) Поля линейно разделены над

(ii) — расширение Галуа и отображение является изоморфизмом между

Доказательство. Для удобства обозначений, не теряя общности, предположим, что Поскольку расширение Галуа, оно обладает примитивным элементом, т. е. Пусть минимальный полином над Тогда и полином полностью распадается в кольце Таким образом, поле разложения полинома В над В частности, расширение Галуа. Если -унитарный делитель полинома 0, то корни являются также и корнями Так как разлагается в то, следовательно, где Поэтому Следовательно, потому что неприводим в Это рассуждение показывает, что неприводим также и в Итак, линейно разделены над Так как расширение Галуа, то каждый автоморфизм отображает на себя, т. е. Если то отображение -это инъективный гомоморфизм групп Этот гомоморфизм является изоморфизмом, поскольку конечные группы имеют одинаковые порядки.

Лемма с. Пусть подполя поля такие, что

— расширение Галуа. Отождествим группы с помощью изоморфизма ограничения Если то

Доказательство. Отождествление приводит к вложению Пусть причем для и Имеет место изоморфизм -пространств Пусть где Тогда Следовательно,

Предыдущая лемма имеет когомологическую интерпретацию. Пусть отображение вложения и Если -алгебра степени и расщепляет А, то Следовательно,

Более того, следующая диаграмма коммутативна:

В самом деле,

Предложение Пусть подполя поля такие, что расширение Галуа. Тогда расширение Галуа с группой Галуа

и следующая диаграмма гомоморфизмов групп

коммутативна, где отображение вложения, а композиция гомоморфизма ограничения отображения групп когомологий, соответствующего вложению

Доказательство предложения состоит в сопоставлении предложения а и леммы с учетом леммы с. Действительно, достаточно рассмотреть коммутативную диаграмму

в которой левый квадрат есть диаграмма (1), а правый — диаграмма (3).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 14

Название этой главы, возможно, не совсем удачно. В ней представлены лишь начальные сведения о когомологиях Галуа. Читателю, желающему изучить этот предмет более подробно, можно порекомендовать монографию Серра [71]. Упражнения к § 14.6, 14.7 отчасти дополняют основной текст. В первых пяти параграфах главы основные связи между группами Брауэра и когомологиями изложены примерно так, как и в книгах Артина, Несбитта и Тролла [9], Херстейна [41], Джекобсона [48] и Райнера [66].

Предложение 14.4а приводит к одной из основных нерешенных проблем теории ассоциативных алгебр: какие периодические абелевы группы реализуются в качестве групп Брауэра? Для многих полей F группа Брауэра делима. Это так,

например, если локальное поле, поле алгебраических чисел или, более общо, глобальное поле. Из недавних результатов А. С. Меркурьева и А. А. Суслина [12] вытекает, что если поле F содержит все корни из единицы, то группа также делима. Брюмер и Розен высказали предположение о том, что если группа содержит элемент простого нечетного порядка или элемент порядка 4 в случае то ее -примарная компонента содержит нетривиальную делимую часть. В [19] А. С. Меркурьев доказал эту гипотезу при Следствием этого является тот факт, что не всякая периодическая абелева группа изоморфна некоторой группе Брауэра.