§ 7.6. Почти расщепляющиеся расширения

Если модуль проективен, то простых -последовательностей не существует. В частности, никакая почти расщепляющаяся последовательность не может оканчиваться проективным модулем. Этот недостаток можно устранить, расширив наше определение. При этом, чтобы избежать путаницы, мы должны будем изменить терминологию.

Пусть Почти расщепляющимся расширением модуля называется такой гомоморфизм что если не проективен, то последовательность является почти расщепляющейся, а если проективен, то выполнены условия: инъективен и Другое определение почти расщепляющихся расширений дано в упр. 1. Два расширения модуля называются изоморфными, если существует такой изоморфизм что Отношение изоморфизма является, очевидно, отношением эквивалентности.

Предложение а. Пусть А — артинова справа алгебра ограниченного типа. Тогда для любого конечно порожденного неразложимого -модуля существует почти расщепляющееся расширение определенное однозначно с точностью до изоморфизма. Если гомоморфизм модулей, который не является расщепляющейся сюръекцией, то существует такой гомоморфизм что

Доказательство. Если модуль не проективен, то утверждение о существовании и единственности является буквальной переформулировкой следствия 7.5. Если же проективен, то существование и единственность требуемого гомоморфизма очевидным образом вытекают из определения почти расщепляющихся расширений. Второе утверждение предложения является частью определения почти расщепляющихся последовательностей в случае, когда непроективен. Если же проективен, то не может быть сюръективным. Следовательно, в силу следствия Поэтому, ввиду того что осуществляет изоморфизм получаем, что и

Можно указать процедуру построения неразложимых -модулей, исходя из почти расщепляющихся расширений. Данная процедура не является эффективной и использует аппарат развитой нами теории. Тем не менее ее возможностей достаточно для доказательства первой гипотезы Брауэра — Тролла.

Для любого непустого подкласса обозначим через совокупность таких модулей что либо для некоторого либо существует почти расщепляющееся расширение со свойствами: и модуль изоморфен прямому слагаемому модуля Используя индукцию по определим классы следующим образом:

В случае когда класс состоит из всех простых -модулей, вместо будем писать просто

Следует отметить несколько очевидных свойств, легко вытекающих из наших определений:

Предложение Для всех число классов изоморфизма модулей из конечно.

Доказательство. Достаточно заметить, что если конечно число классов изоморфизма модулей в некотором классе то конечно и число классов изоморфизма модулей в Этот факт вытекает из теоремы Крулля — Шмидта и единственности почти расщепляющегося расширения любого модуля (Отметим, что единственность имеет место и без предположения о том, что алгебра ограниченного типа; при ее доказательстве использовалось лишь предложение 7.5.)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)