§ 16.3. Приведенная норма

В этом параграфе стандартные утверждения о матрицах и определителях будут переведены на язык приведенных норм. Основной итог этой работы, формулируемый в терминах норм, — критерий обратимости элемента центральной простой алгебры.

Лемма а. Пусть представление F-алгебры А. Если то

Если базис модуля то существует однородный полином с коэффициентами в поле К, такой, что

Доказательство. Равенства (i), (ii) и (iii) отражают соответствующие свойства следа и определителя матриц. Например,

Пусть Тогда

где - однородный полином степени

Лемма Если представление алгебры А, то каждый ее элемент есть корень своего -характеристического полинома.

Доказательство. В силу следствия 16.1а коэффициенты полинома принадлежат полю так что

поскольку гомоморфизм F-алгебр. По определению полином есть характеристический полином матрицы Следовательно, по теореме Гамильтона — Кэли для матриц . Наконец, поскольку алгебра А проста, то инъективный гомоморфизм. Значит,

Предложение а. Пусть Элемент обратим тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если то в силу леммы Таким образом, Предположим, что Тогда где в силу Так как по лемме имеем то, следовательно, — элемент, обратный к у.

Следствие а. Пусть представление алгебры Тогда А — алгебра с делением в том и только том случае, когда для всех элементов

Это следствие вытекает из предложения и следствия 16.1а. Из леммы а и предложения следует, что приведенная норма является гомоморфизмом группы в группу Поскольку группа абелева, ядро отображения содержит коммутант группы Поэтому индуцирует гомоморфизм группы в группу

Следствие Если то отображение является гомоморфизмом группы в групйу индуцирующим гомоморфизм

Группы Сокег важные инварианты центральных простых алгебр. Ядро гомоморфизма изучается в алгебраической -теории и носит название приведенной группы Уайтхеда алгебры А (обозначается через Ввиду следствия получаем точную последовательность

Из леммы а легко следует, что если то Значит, гомоморфный образ группы В частности, экспонента группы делит Аналогичное утверждение для группы будет доказано в § 16.6.

В заключение покажем, что отображения объектов для некоторых функторов.

Предложение Пусть поле К — расширение поля Предположим, что Гомоморфизм F-алгебр В индуцирует гомоморфизмы групп такие, что диаграмма

коммутативна, где экспоненциальное отображение

Доказательство. Ядро сквозного гомоморфизма совпадает с Следовательно, группа изоморфна подгруппе абелевой группы Поэтому и индуцирует гомоморфизм такой, что

В силу следствия для всех Таким образом, средний квадрат диаграммы (2) коммутативен. Из этого, а также из точности строк диаграммы (2) непосредственно вытекает существование однозначно определенных гомоморфизмов и таких, что диаграмма (2) коммутативна

Если соответственно гомоморфизмы F-алгебр и -алгебр, то из конструкции в доказательстве предложения вытекает, что

В частности, функтор из категории в категорию абелевых групп.

Упражнения

(см. скан)