§ 10.2. Сепарабельность

Познакомимся теперь с основным объектом настоящей главы.

Определение. -алгебра называется сепарабельной, если она является проективным -модулем.

В действительности кольцо скаляров R участвует в этом определении, ибо алгебра зависит от Алгебра может быть

сепарабельной -алгеброй, но не быть сепарабельной -алгеброй для некоторых подколец кольца

Полезно иметь в распоряжении несколько характеризаций сепарабельных алгебр. В одной из них участвует частный случай отображения введенного в § 9.5. При положим В этом определении используется структура правого -модуля на Ясно, что является гомоморфизмом -модулей, а поэтому также и гомоморфизмом -бимодулей. Если алгебра некоммутативна, то не является кольцевым гомоморфизмом. Более привычный вид приобретает в терминах тензоров ранга один:

Из (1), очевидно, вытекает, что сюръективно. Таким образом, имеется короткая точная последовательность

Гомоморфизм называется пополнением (или пополняющим отображением) алгебры Правый -модуль иногда называется пополняющим модулем алгебры

Предложение. Пусть А — некоторая R-алгебра. Тогда следующие свойства эквивалентны:

(ii) точная последовательность (2) расщепляется,

(iii) существует элемент такой, что для всех (при этом рассматривается как А-бимодуль).

Доказательство. Условие (i) утверждает, что как -модуль проективен, поэтому из (i) вытекает (ii) в силу следствия 6.1а. Обратно, если последовательность (2) расщепляется, то как -модули, так что алгебра сепарабельна. Последовательность (2) расщепляется в том и только том случае, когда существует такой что Выбрав с таким свойством, положим Тогда ибо является гомоморфизмом бимодулей, так что (iii) выполняется. Обратно, если элемент удовлетворяет условию то, определив соотношением получим т. е. является гомоморфизмом бимодулей. Кроме того, Таким образом, точная последовательность (2) расщепляется.

Элемент удовлетворяющий условию (iii) предыдущего предложения, называется сепарирующим (или сепарабельным) идемпотентом алгебры А. Как показывает следующий результат, термин «идемпотент» здесь действительно оправдан.

Лемма. Пусть R-алгебра А как R-модуль порождается множеством Тогда выполняются следующие утверждения:

(ii) элемент удовлетворяющий условию является сепарирующим идемпотентом для А в том и только том случае, когда ;

(iii) если сепарирующий идемпотент алгебры А, то ;

(iv) элемент является сепарирующим идемпотентом алгебры А в том и только том случае, когда

Доказательство. Ввиду линейности можно предполагать, что Для доказательства (i) предположим, что где что ввиду (1) эквивалентно соотношению Следовательно, Обратное включение очевидно, ибо является гомоморфизмом -модулей. Утверждение (ii) вытекает из (i) ввиду того, что Так как то из (ii) следует, что Утверждение (iv) является переформулировкой определения сепарирующих идемпотентов.

Пример а. Если коммутативное кольцо, целое положительное число, то алгебра сепарабельна.

Доказательство. Зафиксируем и положим Тогда

По лемме является сепарирующим идемпотентом для

Пример Пусть конечная группа, порядок которой обратим в кольце Тогда групповая алгебра является сепарабельной -алгеброй.

Доказательство. Положим Тогда и

так что сепарирующий идемпотент для

Упражнения

(см. скан)