§ 12.5. Группа Брауэра

Результатам предложения 12.4Ь можно придать иную, весьма интересную форму путем рассмотрения классов изоморфных центральных простых алгебр относительно подходящего отношения эквивалентности. Это отношение эквивалентности есть эквивалентность Мориты, обсуждавшаяся в § 9.6. С точностью до эквивалентности центральные простые F-алгебры образуют абелеву группу, называемую группой Брауэра поля Термин «группа Брауэра» был введен в честь Рихарда Брауэра, который впервые предпринял систематическое исследование этого фундаментального инварианта. Важность групп Брауэра в теории колец и полей в настоящее время твердо установлена. Многое в оставшейся части книги будет связано с различными свойствами групп Брауэра.

В дальнейшем удобно будет ввести специальные обозначения для классов центральных простых алгебр. Пусть поле. Обозначим через класс всех конечномерных простых F-алгебр А, таких, что т. е. конечномерных центральных простых F-алгебр. Простая F-алгебра не принадлежит если она является бесконечномерной над F или если ее центр отличен от

Для центральных простых алгебр эквивалентность Мориты принимает простой вид.

Лемма. Пусть алгебры принадлежат Следующие условия эквивалентны.

(i) базисные алгебры алгебр изоморфны,

(ii) существуют алгебра с делением и натуральные числа тип, такие, что ;

(iii) существуют натуральные числа такие, что

Доказательство. Согласно структурной теореме Веддербёрна, где конечномерные

с делением над полем Более того, центральные -алгебры в силу примера 12.1. Поэтому импликация есть следствие замечания из примера 6.6 о том, что алгебра является базисной алгеброй алгебры базисной алгеброй алгебры В. Если утверждение (ii) имеет место, то что совпадает с утверждением (iii) при С другой стороны, если то В силу утверждения о единственности в структурной теореме Веддербёрна последний изоморфизм влечет за собой Следовательно, алгебры имеют изоморфные базисные алгебры.

Мы будем называть алгебры из эквивалентными и употреблять обозначение если эти алгебры удовлетворяют условиям предыдущей леммы. Ясно ввиду утверждения (i) этой леммы, что отношение эквивалентности на классе Класс эквивалентности алгебры А из в дальнейшем будем обозначать через

Предложение а. Пусть поле. Тогда множество является абелевой группой с умножением единичным элементом и операцией взятия обратного элемента

Доказательство. Если то Следовательно, в силу предложения множество. Действительно, Если то в силу предложения алгебра принадлежит Кроме того, из эквивалентностей вытекает, что В самом деле, если то

Следовательно, тензорное произведение на классе индуцирует умножение в множестве с помощью правила Коммутативность и ассоциативность тензорного произведения влечет за собой выполнение соответствующих свойств в кроме того, из изоморфизма вытекает Наконец, если алгебра принадлежит то принадлежит также алгебра в силу предложения Следовательно, — группа, в которой

Группа называется группой Брауэра поля

Наш следующий результат является простым следствием структурной теоремы Веддербёрна, однако он бывает весьма полезен.

Предложение Пусть поле.

(i) Если алгебры принадлежат то А В тогда и только тогда, когда в группе

(ii) Каждый класс в группе представляется алгеброй с делением, которая единственна с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Пусть классы совпадают. Это означает, что Тогда в силу предыдущей леммы её влечет за собой поэтому Обратно, из изоморфизма В непосредственно следуют равенства В силу структурной теоремы Веддербёрна каждая алгебра, принадлежащая изоморфна алгебре где алгебра с делением, принадлежащая Следовательно, Если эквивалентные алгебры с делением, скажем то ввиду утверждения о единственности в структурной теореме Веддербёрна получаем

Следствие. Если алгебраически замкнутое поле, то

Действительно, в силу леммы 3.5 единственная конечномерная алгебра с делением над F есть само

Смысл предложения состоит в том, что группа классифицирует конечномерные алгебры с делением над полем Однако групповая структура группы не может быть определена внутри класса алгебр с делением. Тензорное произведение двух алгебр с делением, вообще говоря, не является алгеброй с делением.

В заключение покажем, что группа Брауэра является отображением объектов категорий для подходящего функтора.

Предложение с. Если является вложением полей, то индуцирует групповой гомоморфизм если положить Соответствия и определяют функтор из категории полей в категорию абелевых групп.

Обозначение имеет тот же смысл, что и в § 2.1: является F-алгеброй с операцией умножения на скаляр где а

В силу предложения Кроме того,

В частности, если скажем то

Таким образом, является корректно определенным гомоморфизмом группы в группу Если — другой гомоморфизм полей, то нетрудно видеть, что и этот изоморфизм — изоморфизм -алгебр. Следовательно, что завершает доказательство предложения с.

Вообще говоря, различные вложения поля F в поле приводят к различным гомоморфизмам группы в группу соответствующий пример приведен в упр. 1.

Упражнения

(см. скан)