§ 11.8. Алгебры с 2-нильпотентным радикалом

Проблема классификации по-прежнему остается важной проблемой теории алгебр. Для многих алгебр результаты § 11.7 переносят центр тяжести проблемы классификации на изучение нильпотентных мультипликативных бимодулей. В этом параграфе мы используем данный подход для изучения конечномерных

алгебр В над алгебраически замкнутым полем, радикал которых удовлетворяет условию С учетом результатов предыдущих глав можно дать полную классификацию таких алгебр и охарактеризовать те из них, которые имеют конечный тип.

В этом параграфе предполагается, что алгебраически замкнутое поле. Рассматриваемые алгебры являются конечномерными над Так как поле F совершенно, то алгебра такого типа сепарабельна в том и только том случае, если она полупроста. Согласно предложению 11.7, можно ограничиться рассмотрением алгебр вида где полупроста, а является мультипликативным -бимодулем. Так как то предположение -нипотентности радикала алгебры сводится к условию т. е. обладает тривиальным умножением. Таким образом, классы изоморфизма конечномерных F-алгебр В с условием находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма пар где является конечномерной полупростой алгеброй, конечномерным -бимодулем, или, что эквивалентно, правым -модулем.

Так как F алгебраически замкнуто, то из структурной теоремы Веддербёрна вытекает, что любая конечномерная полупростая F-алгебра изоморфна прямой сумме полных матричных алгебр, причем слагаемые упорядочены таким образом, что Неубывающая последовательность натуральных чисел составляет полный набор инвариантов конечномерной полупростой F-алгебры.

Для упрощения обозначений запишем в виде где Обертывающая алгебра является суммой, распространяющейся на все пары алгебр операция транспонирования матриц определяет изоморфизм В частности, алгебра полупроста, так что любой правый -модуль изоморфен прямой сумме простых модулей где минимальный правый идеал алгебры (рассматриваемый как правый -модуль). С точностью до изоморфизма модули зависят только от пары Любой конечномерный -бимодуль изоморфен единственной прямой сумме вида где неотрицательные целые числа.

Пары, состоящие из неубывающей последовательности натуральных чисел и -матрицы из неотрицательных целых чисел, определяют множество представителей всех классов изоморфизма конечномерных F-алгебр В со свойством Если не все различны, то различным матрицам могут отвечать изоморфные алгебры. Например, если то матрица, полученная из перестановкой первой и второй строк и первого и второго столбцов, также является инвариантом того же класса алгебр. Инвариант в полном смысле слова можно получить, определив на матрицах подходящее отношение эквивалентности. Детали этой процедуры описаны в упр. 1.

Обратимся в последний раз к проблеме определения типов алгебр.

Теорема. Пусть алгебраически замкнутое поле и В — конечномерная F-алгебра, такая, что Для того чтобы алгебра В имела конечный тип, необходимо и достаточно, чтобы, решетка была дистрибутивной, а разделенный колчан имел диаграмму, являющуюся несвязным объединением диаграмм Дынкина типов или

Для доказательства этого результата необходимо собрать воедино ряд глубоких теорем, доказанных нами в связи с изучением алгебр и их представлений. Мы дадим общую схему рассуждений, приводящих к утверждению теоремы.

В силу следствия 9.6 алгебра В имеет конечный тип в том и только том случае, если ее базисная алгебра имеет конечный тип. Следовательно, предложение позволяет предполагать, что алгебра В приведенная, т. е. алгебра является прямой суммой нескольких экземпляров поля алгебраически замкнуто). Другими словами, последовательность, ассоциированная с А, есть ( По теореме 6.7 для того чтобы алгебра В имела конечный тип, необходимо, чтобы решетка ее идеалов была дистрибутивной. Согласно предложению дистрибутивна в том и только том случае, если решетка подбимодулей из дистрибутивна, причем ввиду условия радикал можно рассматривать как -бимодуль. Поэтому дистрибутивность в силу следствия сводится к условию, чтобы все коэффициенты матрицы ассоциированной с В, были равны или 1. Несложная проверка показывает, что в точности тогда, когда принадлежит множеству ребер колчана Следовательно, если алгебра В приведенная и решетка дистрибутивна, то В изоморфна алгебре определенной в § 8.1. Поэтому доказываемая теорема вытекает из предложения 8.3.

Условие жестко ограничивает сферу применений доказанной теоремы. Тем не менее если В имеет конечный тип, то алгебра также конечного типа. Таким образом, для конечномерных алгебр над алгебраически замкнутым полем условия, налагаемые в рассматриваемой теореме на необходимы для того, чтобы алгебра В имела конечный тип.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 11

Когомологии алгебр были введены Хохшильдом. Ему также принадлежит заслуга выявления связи между сепарабельными алгебрами и теоремами Веддербёрна и Мальцева. Излагая эти результаты, мы следовали статье Хохшильда [44]. Существуют более сложные подходы к когомологиям алгебр, чем первоначальная конструкция Хохшильда. Однако его метод позволяет, используя довольно простые средства, быстро развить необходимый аппарат. Доказательство леммы о змее, приведенное в § 11.3, принадлежит Ляйхту. Редукция изучения строения алгебр к случаю нильпотентных алгебр (как в § 11.7) проясняет ситуацию, но не слишком приближает нас к решению данной проблемы. В своей книге [3], выпущенной в 1935 г., Алберт

на с. 172 отметил, что для нильпотентных алгебр имеются лишь фрагментарные результаты. К настоящему времени ситуация практически не изменилась. Теорема 11.8 была впервые опубликована в статье Габриеля [34]. Эта работа стимулировала бурную деятельность многих математиков. Образно говоря, пыль, поднятая этой работой, еще не улеглась. Современные достижения в теории представлений алгебр отражены в [29]. Там же содержится весьма полная библиография по данному предмету.