§ 4.3. Радикал Джекобсона

Сейчас мы в состоянии доказать утверждение, упомянутое в § 3.1.

Лемма а. Пусть А — некоторая R-алгебра. Тогда

Доказательство. Используя левосторонние аналоги предложений 4.1 и 4.2, получаем, что Из леммы Накаямы тогда вытекает, что Симметричные рассуждения доказывают обратное включение

Настало время закрепить за рассматриваемым радикалом алгебры специальное наименование и обозначение.

Определение. Пусть некоторая -алгебра. Радикалом Джекобсона алгебры называется радикал

Предложение. Радикал Джекобсона алгебры А является двусторонним идеалом в А и описывается любым из следующих условий:

Это предложение непосредственно следует из леммы а и леммы Накаямы. Еще одна характеризация радикала Джекобсона дана в упр. 4.

В оставшейся части этой книги под радикалом алгебры мы будем подразумевать ее радикал Джекобсона. Для колец и алгебр можно ввести и другие радикалы, однако мы этим заниматься не будем. Имеется следующий полезный вариант нашего предложения.

Следствие а. Если такой правый или левый идеал алгебры А, что для всех то Если к тому же то

Доказательство. Из того что правый или левый идеал и для всех вытекает, согласно предложению, что С другой стороны, если то по лемме 2.7а

Элемент х алгебры называется нильпотентным, если существует такое натуральное число что Приведем следствие, которое обобщает лемму

Следствие Правый (или левый) идеал алгебры А, каждый элемент которого нильпотентен, содержится в радикале

Доказательство. Если то поэтому следствие является частным случаем следствия а.

Некоторые общие свойства радикала Джекобсона используются особенно часто. Два таких свойства сформулированы ниже; еще одно содержится в упр. 2.

Лемма Пусть некоторые R-алгебры. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) если — сюръективный гомоморфизм алгебр, то

Доказательство. Включение следует из лемм 4.1 и 2.1а. В самом деле, Применяя этот результат к проекциям прямой суммы В на компоненты получаем С другой стороны, если то согласно предложению. Следовательно, является обратимым элементом алгебры Так как — идеал в , то из следствия а вытекает, что

В заключение этого параграфа приведем пример класса алгебр с нулевым радикалом.

Пример. Если полупростой -модуль, то В случае конечно порожденного модуля алгебра согласно упр. 3 § 3.5, является даже полупростой; поэтому радикал в этом случае заведомо равен 0. Для доказательства нашего утверждения в общем случае рассмотрим ненулевой эндоморфизм Из предложения 2.4 легко следует, что существует такой простой подмодуль а что По лемме Шура изоморфно отображает на Еще раз применяя предложение 2.4, получаем, что существует такой эндоморфизм что и Положим Очевидно, что Так как то необратим в Следовательно, согласно предложению.

Упражнения

(см. скан)