§ 10.3. Сепарабельные алгебры являются конечно порожденными
Утверждение, указанное в названии параграфа, не совсем точно. Строгая формулировка имеет следующий вид.
Предложение. Пусть А — сепарабельная R-алгебра, которая является проективным R-модулем. Тогда А конечно порождена как R-модуль.
Доказательство. На первом шаге мы, используя 
-проектив-ность 
построим три набора объектов 
заиндексированных одним и тем же множеством I, для которых выполняются следующие условия: при 
Из этих свойств и существования сепарирующего идемпотента 
алгебры А легко выводится конечная порожденность 
В самом деле, пусть 
По определению 
для всех 
Поэтому, согласно (2), 
а из (3) и (1) вытекает, что
поскольку пополняющее отображение 
является гомоморфизмом бимодулей. Таким образом, А как 
-модуль порождается конечным множеством 
Остается построить гомоморфизмы 
и элементы 
Используемый метод представляет собой некоторую модификацию построения дуальных базисов в проективных модулях. Поскольку 
-модуль А проективен, то модуль А также проективен. Таким образом, существует свободный 
-модуль 
с базисом 
такой, что 
является прямым слагаемым в 
другими словами, 
и существует такой проектирующий гомоморфизм 
что 
Ввиду того что модуль 
свободен и 
- его базис, существуют однозначно определенные гомоморфизмы 
-модулей 
такие, что для любого множество 
конечно и 
Отображения 
являются в действительности ограничениями на 
координатных проекций. Тогда
для всех 
Поскольку отображение 
является, очевидно, билинейным отображением произведения 
в 
то существование гомоморфизмов 
удовлетворяющих (1), обеспечивается свойством универсальности тензорных произведений. Кроме того, 
что доказывает (2). Другими словами, 
является гомоморфизмом правых 
-модулей. Наконец, положим 
Достаточно доказать (3) для 
Согласно 
конечное множество, а в силу (4)
Следствие. Пусть 
сепарабельная F-алгебра. Тогда А конечномерна.
Этот результат вытекает из доказанного выше предложения, ибо любое 
-пространство является свободным, а следовательно, и проективным модулем.
Упражнение
Доказать, что если рассматривать 
как 
-алгебру, то она является сепарабельной, но не будет конечно порожденной как 
-модуль.
