§ 17.8. Неразветвленные расширения

Ключом к пониманию строения групп Брауэра локальных полей является следствие 17.7а. Его применение основывается на свойствах неразветвленных расширений локальных полей. Цель этого параграфа — установление необходимых фактов о неразветвленных расширениях.

Удобно уточнить наши предположения и ввести упрощенные обозначения, которые будут использоваться на протяжении всего этого параграфа. Пусть конечное расширение степени Предположим, что локальные поля относительно дискретного нормирования Для наших целей случай, когда поля конечны, не представляет интереса. Поэтому можно предполагать, что нормирование нетривиально. Положим и Обозначим также через через К. Как обычно, F отождествляется с образом кольца А при отображении взятия классов вычетов из Поскольку локальные поля, то поля конечны. Обозначим через число элементов поля ясно, что является степенью характеристики поля

Лемма а. Пусть расширение Галуа и Тогда для всех

Доказательство. Отображение -определенное правилом является, очевидно, нормированием поля

причем В силу утверждения о единственности из предложения для всех

Лемма Пусть расширение Галуа. Тогда существует гомоморфизм такой, что для всех

Доказательство. В силу леммы а Поэтому автоморфизм индуцирует автоморфизм поля такой, что Если то Следовательно, Ясно, что т. е. гомоморфизм.

Предложение. Следующие условия для расширения эквивалентны:

(i) К — поле разложения над F полинома где

(ii) K/F — расширение Галуа и где у — корень такого унитарного полинома что корни полинома различны и лежат в расширении поля F.

(iii) K/F — расширение Галуа и где у — корень унитарного неприводимого полинома такого, что все корни полинома различны и принадлежат R.

(iv) K/F — расширение Галуа и гомоморфизм леммы является изоморфизмом.

(v) Расширение неразветвлено.

Доказательство. Если условие (i) выполнено, то расширение Галуа и в К существует примитивный корень степени I из единицы у. Следовательно, так что условие (ii) выполнено. Предположим, что выполнено условие и пусть где унитарные неприводимые полиномы из кольца Так как область главных идеалов, то из леммы Гаусса следует, что для всех Для некоторого индекса имеем поскольку Корни полинома различны, так как различны корни полинома Ввиду леммы а полином полностью распадается в кольце поскольку расширение Галуа; значит, все корни полинома лежат в поле К. Пусть условие (iii) выполнено. Тогда где обозначает группу Поэтому предположение о том, что корни полинома различны, влечет за собой инъективность Поскольку конечная то расширение Галуа, и потому Отсюда следует, что изоморфизм. Если

условие (iv) выполнено, то выполнено и условие так как в силу предложения 17.7. Предположим, что неразветвлено, Согласно предложению Значит, поле разложения над F полинома По лемме Гензеля существует элемент такой, что примитивный корень степени из единицы, принадлежащий полю Таким образом, у — примитивный корень 1-я степени из единицы, принадлежащий полю в силу леммы 17.7а. Следовательно, поле разложения над F полинома

Обозначим через сепарабельное алгебраическое замыкание поля

Следствие а. Если локальное поле, то для каждого существует единственное поле К, такое, что и расширение неразветвлено.

Это следствие непосредственно вытекает из эквивалентности условий предыдущего предложения.

Для локального поля F через обозначим подполе поля такое, что неразветвленное расширение степени Согласно следствию локальное поле и Расширение является расширением Галуа, причем Поскольку F является конечным полем из элементов, то циклическая группа порядка Она имеет каноническую образующую: отображение Соответствующий элемент группы называется автоморфизмом Фробениуса (или подстановкой Фробениуса) расширения Мы будем обозначать эту образующую группы через (или просто через если такое сокращение допустимо). Явно определяется как автоморфизм F-алгебры такой, что для всех

Для наших целей наиболее важным следствием предыдущего предложения является

Следствие Если локальное поле и алгебра с делением, то циклическая алгебра.

Этот результат вытекает из следствия 17.7а и упомянутого предложения.

Упражнения

(см. скан)