§ 13.3. Алгебраические поля разложения

В этом параграфе мы обратимся к изучению конечных алгебраических расширений поля расщепляющих заданную центральную простую F-алгебру Как мы увидим, такие расширения тесно связаны с максимальными подполями в А.

Лемма. Пусть Если подполе алгебры А, то и для -алгебр будем иметь

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первой части теоремы о двойном централизаторе. Поскольку подполе алгебры А, мы можем рассматривать ее как правый -модуль. С этой точки зрения в силу леммы Пусть представитель единственного (ввиду простоты класса изоморфных правых -модулей. Если алгебра с делением то для подходящих натуральных чисел имеют место изоморфизмы -алгебр В частности,

Предложение. Пусть Для подполя алгебры А следующие условия эквивалентны:

(i) Е - поле разложения алгебры

(iii) , где — строго максимальное подполе алгебры В.

Доказательство. Если поле разложения алгебры А, то в силу предыдущей леммы и теорема о двойном централизаторе влечет за собой Из условия (ii) вытекает, что где Пусть Ясно, что подполе алгебры В. Так как то ввиду теоремы о двойном централизаторе в соответствии с условием Таким образом, строго максимальное подполе алгебры В. Предположим, что условие (iii) выполнено. Согласно следствию Поэтому расщепляет В ввиду леммы. Тогда и в силу леммы расщепляет

Из этого предложения вытекает, что всякое максимальное подполе алгебры является ее полем разложения. С точностью до подобия верно и обратное.

Теорема. Пусть Для конечного расширения полей следующие условия эквивалентны:

(i) Е - поле разложения алгебры

(ii) существует алгебра такая, что является ее строго максимальным подполем и ;

(iii) существует алгебра такая, что ее максимальное подполе и

Доказательство. Ясно, что (ii) влечет за собой (iii) и что (i) следует из (iii) ввиду предложения этого параграфа, предложения 13.1 и леммы 13.2. Предположим, что поле расщепляет алгебру В силу леммы 13.1а можно предполагать, что подполе алгебры где Тогда является подполем алгебры и расщепляет ее. В силу предложения где и строго максимальное подполе алгебры

Следствие. Пусть конечное расширение, такое, что Тогда поле расщепляет алгебру А в том и только том случае, когда оно изоморфно как F-алгебра строго максимальному подполю алгебры А.

Это следствие вытекает из теоремы и предложения

Упражнение

(см. скан)

(см. скан)