§ 10.8. Сепарабельные расширения алгебр

В этом параграфе мы кратко познакомимся с одним понятием, обобщающим понятие сепарабельного расширения в теории полей. Если В — некоторая -алгебра, а ее подалгебра, то В можно рассматривать как -бимодуль и как -бпмодуль. Следовательно, по лемме 9.5а тензорное произведение является -бимодулем, или, что эквивалентно, правым -модулем, где, как обычно, По лемме существует гомоморфизм -бимодулей такой, что При этом очевидно, сюръективен.

Определение. -алгебра В называется сепарабельным расширением -алгебры (или, проще, -сепарабельной), если гомоморфизм является расщепляющейся сюръекцией -модулей.

В явном виде алгебра В является -сепарабельной, если существует такой гомоморфизм -бимодулей что

Из леммы вытекает, что если В — некоторое поле, его подполе, то В является сепарабельным расширением в смысле данного определения в том и только том случае, если является конечным сепарабельным расширением в смысле теории полей.

Если то алгебра В является -сепарабельной в том и только том случае, если она сепарабельна как Р-алгебра. В самом деле, структура -бимодуля на которая была определена в § 9.5, совпадает со структурой -бимодуля на которая происходит из структуры правого -модуля, получающейся из операции умножения. Другими словами, как -бимодули совпадают.

Нетрудно показать, если В — сепарабельная -алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В — сепарабельное расширение подалгебра в В, содержащая то В является сепарабельным расширением С. Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С — сепарабельное расширение сепарабельное расширение С, то В — сепарабельное расширение Доказательство этих фактов намечено в упр. 1. Из леммы вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением.

Для получения примера сепарабельного расширения R-алгебр, в котором большая алгебра не является сепарабельной над мы используем обобщение предложения 10.2.

Лемма. R-алгебра В является сепарабельным расширением своей подалгебры А в том и только том случае, если существует элемент со свойствами для всех

Доказательство эквивалентности условий из предложения 10.2 без значительных изменений переносится в данную ситуацию.

Пример. Пусть — силовская -подгруппа конечной группы Предположим, что поле характеристики Тогда если положить то В является -сепарабельной.

Доказательство. Пусть разложение группы в объединение непересекающихся правых смежных классов по Так как силовская -подгруппа в то ее индекс не делится на Поэтому можно взять Из определения получаем Кроме того, если то существует перестановка множества и такие элементы что (и, следовательно,

Таким образом,

В силу предыдущей леммы алгебра В является -сепарабельной. В то же время по теореме Машке алгебра В не является полупростой (а следовательно, и сепарабельной), если не является одноэлементной группой.

Понятие сепарабельного расширения алгебры позволяет ответить на вопрос, поставленный в § 9.5.

Предложение. Пусть А — подалгебра R-алгебры В. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) В — сепарабельное расширение

(ii) для любой R-алгебры С и любого -бимодуля отображение является расщепляющимся сюръективным гомоморфизмом -бимодулей.

Доказательство. Очевидно, что (i) является частным случаем когда и С совпадают с В. Предположим теперь, что алгебра В является -сепарабельной. Имеем следующую диаграмму гомоморфизмов бимодулей:

в которой является сквозным отображением

определяется, как в примере Таким образом, . По лемме является изоморфизмом. Несложное вычисление с использованием тензоров ранга один показывает, что данная диаграмма коммутативна. Так как В является -сепарабельной, то существует гомоморфизм -бимодулей В со свойством Если положить то является гомоморфизмом В (как -бимодулей), причем Таким образом, расщепляющаяся сюръекция.

Следствие. Пусть А — артинова справа R-алгебра. Предположим, что В есть R-алгебра, содержащая А в качестве подалгебры и являющаяся конечно порожденным правым -моду-лем. Тогда если В является сепарабельным расширением А, та из того, что А имеет конечный тип, вытекает, что В имеет конечный тип.

Это следствие вытекает из предложения настоящего параграфа и предложения 9.5а.

Теорема Хигмана. Пусть поле простой характеристики Тогда если конечная группа, то групповая алгебра имеет конечный тип в том и только том случае, если силовские -подгруппы группы цикличны.

Доказательство. Пусть — силовская -подгруппа в Если алгебра имеет конечный тип, то, согласно следствию подгруппа циклическая. Обратно, если циклическая, то по лемме алгебра конечного типа. Тогда из приведенных выше следствия и примера вытекает, что также алгебра конечного типа.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 10

Осознание важности сепарабельных алгебр над полями происходило в течение длительного времени, превышающего по продолжительности период активного творчества большинства ныне живущих математиков. Тем не менее распространение

понятия сепарабельности на алгебры над коммутативными кольцами произошло сравнительно недавно. Основная заслуга здесь обычно приписывается статье Ауслендера и Голдмана [13], но, как обычно бывает, эта работа имела ряд предшественников. Следует упомянуть статью Адзумаи [16], вошедшую в классический фонд современной алгебры.

В этой главе мы затронули лишь начала теории сепарабельных алгебр, следуя при этом одному из разделов монографии Демейера и Ингрэхэма [25]. Прочтение всей книги [25] несомненно приведет к значительно более глубокому пониманию сепарабельности. Понятие относительной сепарабельности вполне естественно и прослеживается в работах Хигмана [43] и Джанса 151].