§ 4.6. Нильпотентные алгебры

Еще одно применение предложения 4.4 состоит в получении ха-рактеризации нильпотентных конечномерных алгебр. Соответствующая теорема была получена Веддербёрном в одной из его поздних статей [77], однако в действительности она близка к более ранним результатам Энгеля и Ли о нильпотентных и разрешимых алгебрах Ли.

Доказательство этой теоремы Веддербёрна основывается на предложении 4.4, структурной теореме и одной элементарной лемме, которая получается с использованием отображения следа для матриц. Если некоторая -матрица с коэффициентами в поле то след а матрицы а есть

Нам понадобятся два свойства следа: след задает -линейное отображение из след нильпотентной матрицы равен нулю. Первое из этих утверждений легко следует из определения. Для доказательства второго предположим, что Тогда минимальный полином матрицы а имеет вид где (ибо он должен делить а характеристический

полином, равный совпадает с того что минимальный и характеристический полиномы имеют одни и те же неприводимые множители). Следовательно,

Используем эти свойства следа для доказательства одного утверждения, которое предваряет основной результат настоящего параграфа.

Лемма. Никакое множество нильпотентных матриц не порождает как векторное пространство над

Доказательство. В противном случае найдутся такие ниль-потентные матрицы и также скаляры что Если учесть отмеченные выше свойства следа, то это равенство приводит к противоречию:

Предложение. Пусть А — конечномерная F-алгебра и В — подпространство в А, порожденное нильпотентными элементами и замкнутое относительно умножения. Тогда для некоторого

Доказательство. Прежде чем приводить основную часть доказательства, выполним два шага редукции. Во-первых, можно предполагать, что

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим базис алгебры и запишем

Обозначим через К алгебраическое замыкание поля F и построим -алгебру определив умножение при помощи тех же структурных констант Очевидно, что является подалгеброй в Следовательно, В является подалгеброй в где Таким образом, из вытекает, что Остается заметить, что В удовлетворяет тем же условиям, что и В, а именно является -подпространством в замкнуто относительно умножения и порождается нильпотентными элементами. На втором шаге мы накладываем дополнительное условие

Это достигается заменой алгебры на алгебру Так как В замкнуто относительно умножения, то, очевидно, является идеалом в Для завершения доказательства

достаточно показать, что

Действительно, алгебру можно заменить на полупростую алгебру а идеал В — на идеал Так как пространство является гомоморфным образом В, то оно порождается нильпотентными элементами. Следовательно, (3) позволяет заключить, что т. е. откуда, согласно предложению для подходящего Остается доказать утверждение (3), используя дополнительные предположения (1) и (2). В силу следствия где простая алгебра. Пусть гомоморфизм проекции. Для каждого образ является идеалом в так что либо либо в силу простоты алгебры Вторая возможность не реализуется, так как в противном случае алгебра как -пространство порождалась бы нильпотентными элементами, что противоречит предыдущей лемме.

Следовательно, для всех Таким образом, что и доказывает (3).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)