§ 4.7. Радикал групповой алгебры

Настоящий параграф посвящен проблеме описания радикала групповой алгебры. Что можно сказать о радикале Джекобсона когда некоторое поле, конечная группа? Теорема Машке эквивалентна утверждению о том, что если не делит порядок группы Следовательно, можно предположить, что является простым числом делящим Наилучшим известным результатом является теорема, полученная Уоллесом [74] Ее доказательство основано на теореме Веддербёрна из предыдущего параграфа.

Предложение. Пусть поле простой характеристики конечная группа, обладающая нормальной силовской -подгруппой Тогда радикал Джекобсона групповой алгебры равен

Доказательство. Положим Согласно предложению 1.2, гомоморфизм проекции по линейности продолжается до сюръективного гомоморфизма -алгебр Если набор представителей левых смежных классов по т. е. то для равенство имеет место тогда и только тогда, когда Следовательно, для имеем в частности, если

то для всех Отсюда следует, что ахуг так что

Обратно, если то Следовательно, Эти рассуждения показывают, что такой идеал в что Ввиду того что является силовской -подгруппой в порядок не делится на Поэтому по теореме Машке алгебра полупроста. Отсюда следует, что Наша цель — доказать равенство -будет достигнута, если мы покажем, что для некоторого Положим Очевидно, что В является подпространством в Кроме того, В замкнуто относительно умножения, ибо Если то для всех ввиду того, что Следовательно, В порождается нильпотентными элементами. Тогда, согласно предложению для некоторого Требуемый результат о том, что выводится отсюда так. Очевидно, что причем для произвольных ввиду нормальности Я). Поэтому

Следствие. Пусть конечная -группа, поле характеристики Тогда

Доказательство. Если то

1). Поэтому

и наше следствие вытекает из предложения.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)