§ 5.2. Локальные алгебры
Простые модули, очевидно, неразложимы. Обратное утверждение справедливо для модулей над полупростыми алгебрами, но нарушается в общем случае. Для артиновых алгебр существует характеризация конечно порожденных неразложимых модулей в терминах их алгебр эндоморфизмов, которая является аналогом характеризации простых модулей, доставляемой леммой Шура.
Определение. Алгебра А называется локальной, если факторалгебра 
является алгеброй с делением.
Отметим, что если алгебра А локальна, то 
так что А нетривиальна.
Предложение. Пусть А — нетривиальная алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) алгебра А локальна,
(ii) множество 
содержится в 
;
(iii) множество 
замкнуто относительно сложения.
Доказательство. 
Если 
то, согласно 
существует такой 
что 
Следовательно, ввиду предложения 
аналогично устанавливается, что и 
Отсюда следует, что 
Так как алгебра 
нетривиальна, то из предложения 4.3, очевидно, вытекает, что обратимые элементы алгебры 
не могут попадать в 
т. е. 
Таким образом, условие (ii) в действительности эквивалентно тому, что 
так что (iii) является следствием того факта, что 
является идеалом.
(iii) 
(i). Пусть 
Согласно предложению 4.3, в 
существуют такие элементы 
что 
Следовательно, 
ибо в противном случае 
в силу 
Отсюда следует, что х обладает правым и левым обратным в 
так что 
Это рассуждение показывает, что 
откуда вытекает, что факторалгебра 
является алгеброй с делением. 
Следствие а. Пусть А — алгебра, все необратимые элементы которой нильпотентны. Тогда она локальна.
Доказательство. Пусть 
Согласно предположению, существует наименьшее натуральное 
со свойством 
Далее, для всех 
элемент 
В противном случае из равенства 
вытекает, что 
а это противоречит минимальности 
Таким образом, из условия следует, что все элементы из 
нильпотентны, так что 
ввиду следствия 
Это доказывает, что 
Поэтому алгебра 
локальна в силу предложения. 
Следствие 
Пусть 
такой 
-модуль, что алгебра эндоморфизмов 
локальна. Тогда модуль 
неразложим.
Доказательство. Предположение о локальности Ел 
включает условие о том, что 
так что 
Если 
соответствующие проекции, то ввиду равенства 
и локальности алгебры Ел 
по крайней мере один из эндоморфизмов 
или 
обратим. Так как 
то отсюда следует, что либо 
либо 
т. е. либо 
либо 
Упражнения
(см. скан)
