§ 8.2. Представления колчанов

Результаты § 8.1 наводят на мысль, что полезно выделить и изучить некоторые структуры, связанные с колчанами. В этом параграфе мы начнем реализацию этой программы.

Во всей этой главе через обозначается некоторый колчан, причем для удобства обозначений предполагается, что множество вершин V есть Как обычно, через F обозначается некоторое поле.

Определение. Под F-представлением колчана понимается пара состоящая из набора конечномерных -пространств и системы (линейных отображений

Класс всех -представлений колчана будет обозначаться через (или через если необходимо указать поле

Класс можно превратить в категорию, если определить морфизм как систему линейных

отображений таких, что диаграмма

коммутативна для всех пар Если - некоторые морфизмы, то также морфизм; при этом система является автоморфизмом Таким образом, требования из определения категории выполняются.

Множество морфизмов из в обладает структурой -пространства, определяемой условиями и где Стандартное вычисление позволяет установить условия перестановочности для и , и определяемые таким образом операции превращают в -пространство. Легко также проверить, что композиция морфизмов обладает свойством билинейности. В частности, множество Нот является -алгеброй. Отображение есть, очевидно, вложение алгебры в алгебру так что алгебра конечномерна.

Прямые суммы в определяются следующим образом: где Легко проверить, что это определение удовлетворяет требованиям теории категорий. Ввиду конечности колчана и конечномерности всех пространств очевидно, что любой объект можно представить в виде конечной прямой суммы неразложимых объектов:

всех Здесь обозначает множество, состоящее из нульмерного модуля и нулевого отображения.

Рассуждения § 5.3 можно модифицировать таким образом, чтобы доказать, что объект неразложим в том и только том случае, когда алгебра локальна. Используя доказательство теоремы Крулля Шмидта из § 5.4, можно показать, что разложение на неразложимые объекты однозначно с

точностью до изоморфизма. Более подробный набросок рассуждений дан в указании к упр. 2.

Справедливость в категории теоремы Крулля — Шмидта позволяет говорить о колчанах конечного типа. А именно, будем говорить, что колчан имеет конечный тип над если число классов изоморфизма неразложимых объектов в конечно; в противном случае имеет бесконечный тип.

Оказывается, что утверждение «колчан имеет конечный тип» не зависит от поля Однако доказательство этого факта использует различные методы в случаях конечных и бесконечных полей. Чтобы избежать технических осложнений, мы рассмотрим только случай бесконечного поля В оставшейся части этой главы поле F предполагается бесконечным. При этом ограничении упоминать поле F нет необходимости, ибо наши результаты не будут от него зависеть. В частности, можно использовать выражение вида «представления колчана » и «конечный тип», не упоминая поле

Пример. Для из V положим если Для всех пар обозначим через нулевое отображение из Тогда очевидно, является неразложимым объектом в

В действительности объект является простым в том смысле, что ненулевые морфизмы с областью определения инъективны. Мы будем называть простым представлением колчана в вершине Обычно категория обладает простыми (в категорном смысле) объектами, отличными от этих.

Обозначение не вполне корректно, ибо не содержит указания на то обстоятельство, что множество нулевых морфизмов, обозначаемое через 0, в действительности зависит от ориентации Так, если такой колчан, что но то простое представление ассоциированное с отличается от построенного для в первом случае в то время как для имеем

Прежде чем сформулировать основную теорему о представлениях колчанов, необходимо ввести некоторые обозначения. Граф, ассоциированный с колчаном будет обозначаться через Таким образом, это неориентированный граф, множество вершин которого есть V, а множество ребер — это (при этом ориентация не учитывается); упорядоченные пары

отождествляются. Если обе пары участвуют в в качестве ребер, то они дают двойное ребро между в

Любой колчан или граф можно изобразить (неограниченным числом способов) в виде плоской геометрической фигуры, состоящей соответственно из ориентированных или неориентированных отрезков между точками. Мы будем называть такую фигуру диаграммой колчана или графа Например, если то диаграмма колчана имеет вид

Диаграмма графа получается из диаграммы для снятием стрелок. Таким образом, в приведенном выше примере диаграмма графа выглядит так:

Теорема. Колчан имеет конечный тип в том и только том случае, когда диаграмма графа является несвязным объединением следующих диаграмм:

Диаграммы из этого списка известны из классификационной теории алгебр Ли. Они являются диаграммами Дынкина для простых алгебр Ли типов и для Мы увидим, что они возникают при изучении представлений колчанов

по той же причине, что и в теории алгебр Ли, а именно они классифицируют некоторые решетки в евклидовых пространствах.

Упражнения

(см. скан)