§ 1.7. Изоморфизм алгебр кватернионов

Основная проблема теории алгебр кватернионов заключается в определении условий, при которых алгебры и изоморфны. В этом параграфе, используя норменное отображение, мы переведем эту проблему на язык квадратичных форм. Для этого удобно ввести билинейную форму, которая получается из нормы поляризацией.

При положим

Эти соотношения показывают, что является билинейным отображением из в X, которое симметрично и невырожденно для всех влечет за собой Кроме того, и если отождествить F с множеством то

Лемма. Пусть две алгебры кватернионов; с нормами соответственно. Алгебры изоморфны в том и только том случае, когда существует такой изоморфизм векторных пространств что для всех

Доказательство. Начнем с характеризации пространства Если где с то Таким образом, тогда и только тогда, когда либо (и, следовательно, либо (и, следовательно, Это вычисление показывает, что

Подобная характеризация имеется, конечно, и для пространства Следовательно, ввиду того, что любой изоморфизм алгебр удовлетворяет условиям из (2) следует, что далее, если то в соответствии с (1) имеем Таким образом, ограничение на является сохраняющим норму изоморфизмом векторных пространств Обратно, предположим, что — такое биективное линейное отображение, что для всех Чтобы доказать изоморфность мы построим базис алгебры А, структурные константы которого совпадают со структурными константами стандартного базиса алгебры А. В соответствии с Аналогично, Кроме того, ввиду соотношения (1) и того факта, что билинеййая форма ассоциированная с V, очевидно, удовлетворяет условию для всех из Таким образом, Из (2) следует, что В действительности элементы образуют базис пространства в самом деле, если

где то откуда аналогично получается, что Определим отображение условиями: Приведенные выше рассуждения показывают, что отображение является изоморфизмом -алгебр.

Отображение определенное в данном доказательстве, не всегда совпадает с отображением Класс изометрий между шире и легче поддается изучению, чем класс гомоморфизмов из (как алгебр).

Чтобы получить основной результат этого параграфа, переформулируем нашу лемму на языке квадратичных форм. Если то где через обозначена квадратичная форма от трех переменных Аналогично, где (здесь стандартный базис алгебры Удобно переписать эти равенства в матричном виде. Положим

Тогда где верхний индекс обозначает операцию транспонирования матриц. Кроме того, если то

Пусть линейное отображение, так что где Отображение биективно в том и только том случае, когда матрица 6 невырожденна. Если то

Аналогично, Следовательно,

Поэтому отображение удовлетворяет условию для всех или, что равносильно, условию для всех тогда и только тогда, когда для всех из Последнее условие, очевидно, приводит к соотношению Суммируя все сказанное, мы заключаем, что изометрия между существует тогда и только тогда, когда матрицы а и а конгруэнтны.

Предложение. Алгебры кватернионов изоморфны в том и только том случае, когда квадратичные формы эквивалентны.

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путем невырожденной линейной замены переменных. Если формы представлены в виде матричных произведений

то эквивалентность форм равносильна существованию такой невырожденной матрицы что Отсюда следует, что это предложение является всего лишь новой формулировкой предыдущей леммы.

Следствие. Если и с — ненулевые элементы поля то

Полагая в следствии заключаем, что единственными алгебрами кватернионов над полем R являются действительности, согласно упр. 3 § 1.6,

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 1

Групповые алгебры были и остаются областью активных исследований. В качестве современного изложения этого предмета порекомендуем книгу Пассмана [61]. Наш подход к конечномерным алгебрам над полями в § 1.5 по существу классический. Определение ассоциативной алгебры как конечномерного векторного пространства с ассоциативным билинейным умножением введено в основополагающей статье Бенджамина Пирса [62]. Понимание того, что алгебраическая геометрия проясняет классификацию алгебр, пришло позднее. Впервые этот подход появился в статьях Герстенхабера [36] и [37]. Наше рассмотрение алгебр кватернионов следует изложению в книге Лэма [54]. Алгебры кватернионов над Q (или, более общо, над произвольным полем алгебраических чисел) допускают полную классификацию, которая базируется на теореме Хассе — Минковского. Элементарное изложение этой теории для поля рациональных чисел имеется в книге Серра [70].