ГЛАВА 3. Строение полупростых алгебр

Эта глава посвящена одной из первых фундаментальных теорем алгебры: теореме Веддербёрна о строении полупростых алгебр. Остальные результаты главы большей частью служат подготовительным материалом для ее доказательства. Следует оговориться, однако, что многие из этих вспомогательных утверждений относятся к основам алгебраического аппарата, применяемого в различных областях математики. В § 6 доказывается еще одна «именная» теорема. Речь идет о теореме Машке. Она показывает, что полупростые алгебры естественным образом возникают в теории конечных групп.

В большинстве рассуждений этой главы через обозначается некоторая -алгебра. Наибольший интерес представляет тот случай, когда R является полем, однако это дополнительное ограничение мало что дает для упрощения доказательств и усиления результатов.

§ 3.1. Полупростые алгебры

Теперь мы можем ввести одно из центральных понятий теории ассоциативных алгебр.

Определение. -алгебра А называется полупростой, если она полупроста как правый -модуль.

Более подробно, алгебра полупроста, если где простые правые -модули. Так как подмодуль модуля А а, то последнее в действительности означает, что является минимальным правым идеалом алгебры Кроме того, согласно предложению 2.6, множество индексов должно быть

конечным, ибо конечно порожденный модуль (порождается одним элементом

Приведенное выше определение полупростых алгебр использует правые модули. Можно дать аналогичное определение, используя левые модули, и на данном этапе нет оснований полагать, что классы полупростых слева и полупростых справа алгебр совпадают. Тем не менее они действительно совпадают — это будет следовать из структурной теоремы Веддербёрна. Но и не зная, что свойство полупростоты симметрично, мы с полной ясностью видим параллельность теорий правых и левых модулей: достаточно всякий раз заменять прилагательное «правый» на «левый» и менять порядок множителей в формулах. По сути дела, эквивалентность между обеими теориями можно вполне строго доказать путем перехода от к противоположной алгебре. По этой причине мы ограничиваемся рассмотрением алгебр, которые являются «полупростыми справа» в смысле приведенного выше определения. Слова «справа» и «слева» будут конкретизировать смысл термина «полупростой» только в ходе доказательства того, что на самом деле в них нет необходимости.

Приступая к обсуждению полупростых алгебр, мы дадим сначала новую формулировку характеризации конечно порожденных полупростых модулей. Нам понадобится одно определение. Алгебра называется артиновой (нётеровой) справа, если модуль является артиновым (нётеровым), т. е. если решетка правых идеалов алгебры удовлетворяет условию обрыва убывающих (возрастающих) цепей. В отличие от полупростоты эти свойства не являются лево-право-симметричными (см. упр. 2).

Предложение а. Алгебра А полупроста в том и только том случае; если она артинова справа и

Каждая алгебра как правый или левый модуль порождается (одним) единичным элементом, так что этот результат следует из предложения 2.7.

Конечномерная алгебра над полем F автоматически является артиновой: решетка является подрешеткой в а конечномерность означает, что решетка удовлетворяет условию обрыва из предложения 2.6. В этом важном случае алгебра является полупростой тогда и только тогда, когда радикал равен нулю. Позднее мы покажем, что так что это подмножество в является идеалом, который называют радикалом Джекобсона.

Как показывает следующий результат, теория модулей над полупростыми алгебрами сводится к исследованию строения самих алгебр.

Предложение Пусть А — полупростая алгебра. Тогда любой -модуль является полупростым. Кроме того, простые -модубил изоморфны, минимальным правым идеалам алгебры А, и, наоборот, все минимальные правые идеалы алгебры А являются простыми -модулями.

Доказательство. Каждый свободный правый -модуль изоморфен прямой сумме определенного семейства экземпляров модуля А а. Следовательно, согласно следствию свободные -модули являются полупростыми. Так как произвольный -модуль является гомоморфным образом некоторого свободного -модуля, то первая часть предложения вытекает из следствия 2.4а. Ввиду предложения 2.3 каждый простой правый -модуль изоморфен фактормодулю вида где максимальный правый идеал. Согласно предложению 2.4, полупростота модуля А а обеспечивает существование дополнения к модулю в Так как идеал максимален, то идеал должен быть минимальным; при этом Таким образом, минимальные правые идеалы алгебры представляют все классы изоморфизма простых модулей.

Следствие. Гомоморфный образ полупростой алгебры А является полупростой алгеброй.

Доказательство. Пусть сюръективный гомоморфизм алгебр. Сделанные в § 2.1 замечания показывают, что В можно рассматривать как правый -модуль. Ясно, что Согласно нашему предложению, модуль полупрост, т. е. где каждый модуль является простым -модулем. Так как из предложения 2.1 и леммы 2.1а вытекает, что модули являются простыми -модулями. Следовательно, алгебра В полупроста.

Как мы увидим в следующем параграфе, класс полупростых алгебр замкнут также относительно конечных прямых сумм.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)