§ 20.2. Специальные тождества

Цель этого параграфа — показать, что если F-алгебра А удовлетворяет нетривиальному полиномиальному тождеству (где ненулевой полином), то она удовлетворяет тождеству, имеющему довольно специальный вид.

Для дальнейшего удобно зафиксировать список переменных. Из результатов § 20.1 следует, что все бесконечные множества переменных приводят к эквивалентным результатам о полиномиальных тождествах. Несчетные множества необходимы лишь для построения больших свободных алгебр. До конца этой главы пусть причем если Мы будем обычно опускать в наших обозначениях букву У. В частности, мы будем писать вместо вместо Все же мы сохраним обозначение для алгебры слов на стандартном множестве У.

Каждый ненулевой полином можно однозначно записать в виде суммы мономов где и Неотрицательное целое число называется степенью монома Степень полинома есть Для каждого индекса степень переменной в мономе есть число появлений в произведении Мы будем обозначать это число через Степенью переменной в полиноме называется число

Ненулевой полином называется равномерным если каждое слагаемое в является произведением одних и тех же переменных. Другими словами, если то при Если полином не является равномерным, то его мономиальные слагаемые, содержащие одни и те же переменные, можно сгруппировать вместе. Этот процесс приводит к представлению где каждое слагаемое равномерно, и если то существует переменная такая, что или наоборот. Ясно, что такое представление единственно. Полиномы называются равномерными слагаемыми полинома

Лемма. Пусть I есть -идеал алгебры и ненулевой полином из Тогда все равномерные слагаемые полинома принадлежат

Доказательство. Можно считать, что полином от переменных где -мерные слагаемые полинома Для доказательства применим индукцию по Если то полином равномерен. Предположим, что и что слагаемые упорядочены так, что переменная встречается в полиномах но не встречается в где Пусть где

Так как I является -идеалом, то

полиномам и применимо предположение индукции. Поэтому

Ненулевой полином называется полилинейным, если для всех Если полином равномерен и полилинеен, то он является линейной функцией от каждой из своих переменных, т. е.

В следующем параграфе мы получим интересное следствие из этой линейности.

Предложение. Пусть I есть -идеал алгебры Если ненулевой полином степени то I содержит ненулевой полилинейный полином степени, не превышающей

Доказательство. Можно считать, что полином от переменных Положим Если то является ненулевой константой, и утверждение предложения очевидно. Если то полилинеен по определению. Предположим, что Пусть число тех для которых Применим двойную индукцию по парам упорядоченным лексикографически. Поскольку множество I является -идеалом, переменные в полиноме можно перенумеровать так, чтобы Положим

Тогда поскольку есть -идеал, и

Так как то для каждого мономиального слагаемого полинома или Поскольку по определению то

Если то из (1) и (2) следует, что либо либо В этом случае справедливость леммы вытекает из нашего предположения индукции.

Остается доказать, что Пусть мономиальное слагаемое полинома такое, что Пусть

где (возможно, пустые) мономы от Ясно, что суммирование ведется по всем получается из заменой переменной на переменную в точности в тех местах, где ей предшествует моном Следовательно, и

Последняя сумма непуста, поскольку Кроме того, различные слагаемые не совпадают, и все они отличаются от мономов, которые возникают в результате применения этого процесса к другим мономиальным слагаемым полинома поскольку Поэтому

Следствие. Если F-алгебра А удовлетворяет нетривиальному полиномиальному тождеству то она удовлетворяет нетривиальному тождеству где равномерный полилинейный полином степени

Поскольку в силу предложения множество является -идеалом, утверждение следствия вытекает из предыдущих леммы и предложения.

Полиномы, одновременно равномерные и полилинейные, имеют следующий вид:

где суммирование ведется по всем перестановкам элементов множества Обратно, равенство (3) определяет равномерный полилинейный полином.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)