§ 17.2. Неархимедовы нормирования

Нормирование у алгебры с делением называется неархимедовым, если число определенное в § 17.1(4), равно 1. Другими словами, выполнено условие

для всех Если то нормирование у называется архимедовым. Из леммы вытекает, что разделение на архимедовы и неархимедовы нормирования согласовано с определенным выше отношением эквивалентности. Основной целью этого параграфа является получение эффективного описания неархимедовых нормирований. Мы начнем с рассмотрения важного следствия неравенства (1).

Принцип доминирования. Если у — неархимедово нормирование алгебры с делением элементы алгебры такие, что для то

Доказательство. Положим В силу

Следовательно,

Таким образом,

Предложение. Для нормирования алгебры с делением следующие условия эквивалентны.

(i) v неархимедово;

(ii) для всех чисел ;

(iii) множество ограничено.

Доказательство. Если неархимедово, то — для всех чисел Ясно, что из условия (ii) следует условие Предположим, что для всех Если элемент таков, что то

для всех чисел где Следовательно, так как при Значит, неархимедово.

Следствие. Пусть алгебра с делением над полем Обозначим через простое подполе поля Нормирование и алгебры неархимедово тогда и только тогда, когда ограничение неархимедово. В частности, если характеристика поляр проста, то любое нормирование алгебры неархимедово.

Последнее утверждение следствия вытекает из такого замечания: если поле конечно, то конечно и множество а следовательно, оно ограничено.

Если подполе поля С, то обычная абсолютная величина приводит к архимедову нормированию и (см. упр. 3 § 17.1). Один пример неархимедова нормирования всегда на виду: это тривиальное нормирование, которое, очевидно, неархимедово. Мы завершим параграф рассмотрением довольно общей конструкции неархимедовых нормирований.

Пример. Пусть область главных идеалов с полем частных Зафиксируем вещественное число такое, что Определим для каждого неприводимого элемента

отображение по правилу где целое число, однозначно определенное условием при Простое вычисление показывает, что отображение продолжается до неархимедова нормирования поля

Этот пример интересен в следующих двух случаях: и где К — произвольное поле. В следующем параграфе мы покажем, что все неархимедовы нормирования поля имеют вид

Упражнения

(см. скан)