§ 9.4. Расширение кольца скаляров

Тензорные произведения имеют еще одно применение в теории алгебр, связанное с расширением области скаляров R до некоторого большего кольца, содержащего R в качестве подкольца. Более общо, при помощи конструкции тензорного произведения оказывается возможным переход от -алгебр к -алгебрам, где любая коммутативная -алгебра.

Предложение а. Пусть А — некоторая R-алгебра. Если коммутативная R-алгебра, то тензорное произведение является -алгеброй, произведение в которой удовлетворяет соотношению

для всех Умножение элементов из на скаляры из задается равенством

Доказательство. Согласно предложению 9.2а, является -алгеброй, а отображение (определяемое формулой -гомоморфизмом -алгебр, удовлетворяющим условию Кроме того, ибо алгебра 5 коммутативна. Следовательно, в силу леммы 9.2а и Поэтому Это включение показывает, что операция умножения элементов из на скаляры из определяемая посредством (2), задает на структуру -алгебры.

Если некоторая -алгебра, а -коммутативная R-алгебра, то через будем обозначать тензорное произведение рассматриваемое как -алгебра. Следует отметить, что во многих статьях, особенно ранних, посвященных ассоциативным алгебрам, обозначается через

Законы дистрибутивности и ассоциативности (следствие 9.2а) имеют важные следствия, связанные с расширением кольца скаляров.

Следствие а. Пусть некоторые R-алгебры. Если коммутативная R-алгебра, а Т - коммутативная -алгебра, то имеют место следующие утверждения:

Доказательство. Первый изоморфизм непосредственно вытекает из следствия 9.2а Доказательство утверждений использует небольшое обобщение закона ассоциативности, заключающееся в том, что если некоторый -модуль, а некоторые -модули, можно рассматривать как -модули и Используя этот результат, получаем

Лемма. Пусть некоторая F-алгебра с базисом Тогда если расширение поля то множество является базисом алгебры В частности,

Доказательство. Пусть -базис как пространства над Согласно предложению множество образует F-базис произведения В силу так что множество порождает Предположим, что имеется соотношение вида где Представим в виде Тогда

так что для всех Поэтому для всех

Для конечномерных алгебр можно дать более простую формулировку этой леммы.

Следствие Пусть А — некоторая n-мерная -алгебра с базисом и соответствующими структурными константами Тогда если поле расширение поля то алгебра изоморфна -мерной -алгебре с базисом теми же структурными константами а

Этот результат легко вытекает из леммы. Требуемый изоморфизм задается условием, что переходит в

В частности, когда А — алгебра кватернионов, мы получаем следующий полезный факт: если расширение,

Предложение Пусть А — некоторая F-алгебра и поле расширение поля Тогда -алгебра В изоморфна в том и только том случае, если в ней существует такая F-подалгебра А, что выполняются следующие условия:

(i) как F-алгебры,

(ii) существует F-базис алгебры являющийся одновременно -базисом для В.

Если размерность А конечна, то условие (ii) можно заменить следующим:

Доказательство. Если то условия выполняются в силу предложения и леммы. Очевидно также, что в случае условия эквивалентны. Предположим теперь, что выполняются условия Положим Очевидно, что является -подалгеброй в В, изоморфной причем Если -базис алгебры А над -базис алгебры над то множество образует F-базис алгебры В. Действительно, согласно и из соотношения где вытекает, что для всех откуда для всех В силу предложения существует изоморфизм. F-алгебр такой, что для всех с Поэтому если то т. е. изоморфизм -алгебра.

Пример. Пусть простое расширение поля скажем Обозначим минимальный полином элемента над F через Покажем, что где Положим - Очевидно, что является собственным идеалом кольца содержащим Но идеал максимален в кольце ибо факторкольцо является полем. Таким образом, так что Тогда из предложения вытекает изоморфизм поскольку

Этот пример свидетельствует о наличии связи между сепарабельностью и поведением полей при расширении основного поля,

которая будет изучаться в следующей главе. Если полином сепарабелен, то в он разлагается на различные неприводимые множители. Тогда по китайской теореме об остатках алгебра изоморфна прямой сумме полей. Совершенно иначе обстоит дело, когда полином несепарабелен. Предположим, например, что где При этом Если расширение также содержит элемент то в имеем Следовательно, алгебра имеет ненулевой радикал

Упражнения

(см. скан)