§ 16.5. Некоммутативные определители

В этом параграфе завершается построение определителя для группы а также заканчивается подготовка к изучению группы в § 6.

Ниже используются обозначения § 4. В частности, подгруппа группы порожденная трансвекциями Мы уже показали, что такая подгруппа в что Чтобы выяснить взаимосвязь между этими группами, следует рассмотреть группу

Лемма а. Если то тогда и только тогда, когда лей, где коммутант группы

Доказательство. Предположим, что и покажем, что Достаточно рассмотреть случай

Так как каждый элемент группы является произведением коммутаторов, то в силу утверждения Сложнее доказать, что из следует Это эквивалентно существованию гомоморфизма определителя группы в группу Удобно распространить наши обозначения на случай Положим если Для обозначим через естественный гомоморфизм группы на группу Мы завершим доказательство леммы, построив отображение для такое, что влечет за собой

Этого будет достаточно для завершения доказательства, поскольку из следует, что кроме того, Если определим векторы-строки Пусть первая строка матрицы Она удовлетворяет условию

В частности,

Если то в силу равенства леммы следует, что для каждого

Положим

где символ указывает на то, что строка в матрице отсутствует. Если то определено отображение определителя и Наше определение отображения 9 мотивировано следующим наблюдением: где индексы таковы, что

В силу леммы выбор индексов и I не имеет значения; достаточно показать, что в предположении Согласно равенству (4), Поэтому с помощью элементарных преобразований строк первого типа получаем

Если матрица у получена из матрицы перестановкой строк с последующим умножением новой 6-й строки

на —1, то Следовательно,

ввиду первой части доказательства. Таким образом, утверждение (5) доказано. Из определения отображения 9 вытекает, что условие (2) имеет место. Для доказательства условия (1) можно предположить, что Следовательно, строка матрицы имеет вид а остальные ее строки совпадают с соответствующими строками матрицы а. В силу равенства так что первая строка матрицы имеет вид Есль для некоторого то В этом случае в силу утверждения (5). (Если то Если для всех индексов то в силу равенства В этом случае и в силу утверждения

Предложение а. Пусть алгебра с делением, Тогда коммутант группы порождается трансвекциями Кроме того,

Доказательство. Согласно утверждению и лемме подгруппа группы такая, что Лемма а эквивалентна утверждению о Совпадении групп Поэтому ввиду следствия 16.4а из теоремы об изоморфизме вытекает, что Таким образом, (поскольку группа абелева). В силу леммы 16.4а

Ввиду упр. 3 из § 16.4 это предложение справедливо и в случае при условии, что Второе утверждение предложения справедливо без ограничений на степень

Следствие а. Пусть алгебра с делением и Тогда существует однозначно определенный гомоморфизм

такой, что где естественный гомоморфизм группы на группу

Явное определение а таково: представим матрицу а в виде где тогда В силу леммы и леммы а этим способом определяется единственный гомоморфизм, удовлетворяющий условию

Отображение было введено Дьедонне в его исследованиях по классическим группам. В случае когда алгебра является полем, отображение совпадает с обычным отображением определителя. Ядро отображения называется специальной линейной группой и обозначается через Если то в силу предложения В частности,

Лемма Если где алгебра с делением, то

Доказательство. Пусть расщепляющее представление алгебры Определим отображение по правилу где последняя матрица рассматривается как блочная. Ясно, что расщепляющее представление А. Следовательно, если

Предложение Пусть где алгебра с делением, такая, что Тогда существуют изоморфизмы такие, что следующая диаграмма коммутативна:

Доказательство. В силу леммы а -корректно определенный инъективный гомоморфизм групп По лемме сюръективный гомоморфизм. Из леммы вытекает, что средний квадрат диаграммы коммутативен. Поэтому остальные квадраты коммутативны и гомоморфизм является изоморфизмом.

Следствие Пусть где алгебра с делением. Тогда

Доказательство. Предположим, что Пусть Представим матрицу а в виде где Тогда Случай тривиален.

Следствие с. Предположим, что Если алгебры, такие, что то В частности,

Упражнения

(см. скан)