§ 8.3. Приложения к алгебрам
Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, как теорема 8.2 применяется для определения типов алгебр, которые описаны в § 8.1.
Колчан 
называется разделенным (separated) или двудольным (bipartite), если V представляется в виде несвязного объединения 
и все ребра начинаются в 
а оканчиваются в 
т. е. если 
то 
Мы будем называть 
множеством источников, 
множеством стоков колчана 
Если некоторая вершина не лежит ни на одном ребре, то ее можно отнести и в 
в зависимости от того, как нам удобнее.
По любому колчану 
можно построить разделенный колчан 
где 
При этом 
Если В — артинова алгебра с колчаном 
то возникающий здесь разделенный колчан 
называется разделенным колчаном алгебры В и обозначается через 
Пусть 
разделенный колчан с множеством источников IV, представление 
колчана 
называется приведенным, если для всех 
пересечение ядер 
взятое по всем 
таким, что 
равно нулю. Например, простое представление
колчана 
определенное в примере 8.2, является приведенным в том и только том случае, если 
Лемма а. Пусть 
разделенный колчан с множеством источников 
и пусть 
и 
—представления колчана 
Тогда имеют место следующие утверждения:
(i) 
, где 
приведенное представление, при этом 
для всех 
;
(ii) представление 
является приведенным тогда и только тогда, когда оба представления 
и 
приведены,
(iii) неразложимое представление либо является приведенным, либо изоморфно одному из простых представлений 
для некоторого 
Доказательство, (i) Для 
представим 
в виде 
, и пусть 
Ввиду того что 
где 
становится очевидным, что 
Отсюда следует, что 
и 
Утверждение (ii) вытекает из определения приведенного представления, ибо
Наконец, утверждение (iii) является следствием утверждений 
Лемма 
Пусть 
алгебра над 
определенная в § 8.1. Существует биекция между классами изоморфизма конечно порожденных неразложимых правых 
-модулей и классами изоморфизма неразложимых представлений 
разделенного колчана 
не изоморфных простому представлению вида 
В частности, алгебра В имеет конечный тип в том и только том случае, когда колчан 
имеет конечный тип.
Доказательство. Если 
конечно порожденный правый 
-модуль, то конструкция, изложенная в § 8.1, приводит к представлению 
разделенного колчана 
Согласно 
представление 
приведенное. В силу леммы 
любой гомоморфизм модулей 
индуцирует морфизм 
из 
в 
Несложное вычисление показывает, что R является функтором из категории конечно порожденных правых 
-модулей в категорию 
Кроме того, ввиду леммы 
функтор R является полным, т. е. отображает 
на 
сюръективно. Леммы 
и с показывают также, что отображение 
переводит классы изоморфизма 
-модулей в классы изоморфизма объектов из 
причем любой класс приведенных объектов из 
содержит представитель вида 
Эти замечания с учетом двух простых утверждений, вытекающих из определения 
а именно:
и
позволяют доказать утверждение нашей леммы. Действительно, если 
конечно порожденный неразложимый 
-модуль, то представление 
также неразложимо. В самом деле, 
согласно (2). Далее, из того что 
вытекает, что существуют конечно порожденные 
-модули 
и 
удовлетворяющие условиям 
откуда, согласно (1), 
так что 
а значит, либо 
либо 
(и, следовательно, 
либо 
в силу неразложимости модуля 
Обратно, если 
неразложим, то 
также неразложимо в силу свойств (1) и (2).
Эта лемма и теорема 8.2 позволяют определить тип алгебр, рассмотренных в § 8.1.
Предложение. Пусть 
некоторый колчан и 
ассоциированный с ним разделенный колчан. Если 
алгебра над 
определенная в § 8.1, то В имеет конечный тип в том и только том случае, если диаграмма, отвечающая 
является несвязным объединением диаграмм Дынкина типов 
или 
В гл. 11 мы дадим более интересную формулировку этого предложения.
Стоит прокомментировать один аспект данного предложения. Доказательство теоремы 8.2, которое будет проведено в настоящей главе, является конструктивным. В нем содержится метод построения неразложимых представлений, исходя из простых представлений колчанов, связанных с 
Этот процесс приводит к алгоритму построения неразложимых 
-модулей при условии, что 
имеет конечный тип.
