§ 19.6. Экспоненты алгебр с делением

Результаты о строении группы полученные в § 19.5, можно применить для построения алгебр с делением над полем В этом параграфе мы докажем простое утверждение, сходное с тем, которое доказал Накаяма в работе [58]. Теорема Накаямы будет затем использована для установления одного результата Брауэра о связи между индексами и экспонентами центральных простых алгебр.

Предложение. Пусть — алгебра с делением и Предположим, что циклическое расширение степени Если алгебра с делением, то алгебра с делением степени из класса есть наименьшее общее кратное чисел

Доказательство. Заметим, что в силу леммы циклическое расширение с группой Галуа, которую можно отождествить с Докажем, что А — алгебра с делением. Мы построим некоторое представление алгебры А и покажем, что для всех элементов Тогда ввиду следствия 16.3а А будет алгеброй с делением. Положим и зафиксируем базис F-пространства D. Конечно, является базисом также и для -пространства Если левое регулярное представление относительно произвольного базиса, то представление алгебры Так как то существует обратимый элемент и такой, что где для Если алгебры отождествлены с подалгебрами алгебры А, то каждый элемент единственным образом представляется в виде

Пусть представление где отображение определено, как в Тогда если элемент задан в виде (1), то в матричной форме

где Наша цель — доказать, что если Поскольку мультипликативное отображение, то мы можем рассматривать вместо элемент или если известно, что обратимый элемент алгебры А. Поэтому мы можем считать, что элементы в равенстве (1) являются полиномами от в противном случае умножим элемент на наименьший общий знаменатель этих дробей. Можно также считать, что

Действительно, если наибольшая степень делящая все полиномы и I — наименьший индекс, такой, что не является делителем для всех то, как показывает

простое вычисление, коэффицеинты полинома лежат в и выполнено условие (3). Пусть В силу (2)

Так как то Следовательно, Кроме того, где элемент не равен нулю в силу условия (3). Из предположения о том, что алгебра с делением, вытекает, что следовательно, (поскольку отображает группу в группу

В частности, Значит, А — алгебра с делением. Для определения экспоненты алгебры А мы вначале покажем, что экспонента алгебры равна В силу следствия 15.1а и леммы 15.1 для этого достаточно заметить, что тогда и только тогда, когда число делит Если является нормой элемента где то Ясно, что число делит степени полиномов следовательно, делит Обратное очевидно, поскольку норма элемента х есть Далее, заметим, что Действительно, в силу первой части доказательства (при вложение индуцирует инъективный гомоморфизм групп так что порядки элементов равны. Чтобы доказать, что достаточно показать, что группе Пусть расширение Галуа, такое, что поле расщепляет алгебру Таким образом, Как мы показали в доказательстве предложения 19.5, имеем Из определений следует, что при

этом изоморфизме элемент отображается в группу а элемент в группу Это доказывает, что группы пересекаются по единице, что мы и хотели показать.

Следствие а. Отображение вложения индуцирует инъективный гомоморфизм такой, что

Следствие Пусть циклическое расширение степени Тогда циклическая алгебра с делением степени и экспоненты

Следствие с. Пусть циклические расширения с группами Галуа порядков Предположим, что поля линейно разделены, т. е. поле. Если независимые переменные, то циклическое расширение с группой Галуа Положим

Тензорное произведение над полем алгебра с делением степени

Это следствие получается из предложения при помощи индукции. Детальное доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теперь мы используем следствие с для доказательства одной теоремы, которая принадлежит Брауэру и устанавливает точное соотношение между экспонентой и индексом Шура. Если индекс алгебры равен а экспонента равна то в силу предложения делит и всякий простой делитель числа является также делителем Теорема Брауэра показывает, что ничего больше в общем случае утверждать о связи между нельзя.

Теорема. Если натуральные числа, причем делит и каждый простой делитель числа является делителем то существует поле и алгебра с делением такие, что

Доказательство. Определим по индукции Существует наименьшее число такое, что Поскольку множества простых делителей чисел тип совпадают, из равенства следует, что Кроме того, ясно, что число является наименьшим общим кратным множества чисел Теорема будет следовать из

следствия с, если мы построим поле обладающее такими циклическими расширениями степени для что поле. Пусть К — поле характеристики нуль, содержащее примитивный корень степени из 1. Положим где независимые переменные. Если то, согласно теории Куммера, циклическое расширение степени (см. упр. 1). Следовательно, в силу предложения поле. В соответствии со следствием с поле обладает требуемым свойством: существует алгебра с делением степени и экспоненты

Используя результаты теории полей классов, можно показать, что любое поле алгебраических чисел F обладает линейно разделенными циклическими расширениями степени так что удовлетворяет требованиям нашей теоремы.

Упражнения

(см. скан)