§ 8.8. Квадратичное пространство колчана

Предложение 8.7 дает способ построения неразложимых представлений, исходя из простых. А именно, если источник ацикличного колчана то является неразложимым представлением колчана причем если неявляется ребром то представление не является простым. Если применить этот процесс некоторое число раз, то можно получить значительный запас неразложимых представлений.

В этом и следующем параграфах мы построим геометрический аппарат, позволяющий следить за представлениями, которые получаются таким образом. Как обычно, будем обозначать через некоторый ацикличный колчан, множество вершин V которого есть Пусть другими словами, -множество ребер неориентированного графа Свяжем с -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел и

квадратичное отображение из задаваемое формулой

Квадратичная форма, определяющая имеет вид

Нам понадобится также билинейное отображение, получающееся из поляризацией, которое выглядит так:

Лемма а. (неориентированная) диаграмма колчана является одной из диаграмм Дынкина типов или то квадратичная форма положительно определена.

Доказательство. Для введем квадратичную форму

Очевидно, что положительно полуопределена и тогда и только тогда, когда Если имеет диаграмму

то квадратичная форма является положительно определенной. Если имеет диаграмму

то форма также положительно определена. Наконец, если диаграммой является одна из диаграмм

то форма опять положительно определена.

Предложение. Если колчан конечного типа, то форма положительно определена.

Доказательство. Согласно предложению причем диаграммами колчанов являются диаграммы Дынкина типов или Из определений вытекает, что

Это значит, что если где то По лемме каждая из форм положительно определена. Поэтому форма также положительно определена.

Обращение этого предложения будет выведено нами из предложения 8.5 и теоремы 8.9. Впрочем, не очень трудно доказать это обращение непосредственно (см. упр. 1), что дало бы более прямое доказательство предложения 8.5. При этом нужна следующая лемма: если колчан конечного типа (и, следовательно, ацикличен), то форма положительно определена. Для доказательства этой леммы можно воспользоваться геометрическими рассуждениями, принадлежащими Титсу. Если форма не является положительно определенной, то существуют такие неотрицательные целые числа не все равные нулю, что Для обозначим через пространство над F размерности Представления колчана такие, что находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами -пространства По построению Алгебраическая группа

действует на по формуле причем скалярные кратные единицы 10 действуют тривиально. Таким образом, можно рассматривать как -модуль. Очевидно, что орбиты пространства относительно группы биективно соответствуют классам изоморфизма представлений на наборе пространств По лемме 8.4а — колчан

бесконечного типа, если число орбит бесконечно. Привлечем теперь нашу геометрическую интуицию. Разумно предположить, что число орбит пространства относительно группы бесконечно, если ее «размерность» меньше «размерности» N. Чтобы придать строгость этому соображению, необходимо четко определить само понятие «размерность». Подходящее определение имеется в алгебраической геометрии: оказываются алгебраическими множествами соответственно размерностей Учитывая выбор чисел получаем, что

Теперь уже можно доказать требуемое утверждение о том, что число орбит пространства относительно группы бесконечно. Ряд указаний, восполняющих пробелы в этом наброске рассуждений, содержится в упр. 2.

Определение. Пусть —представление ацикличного колчана Вектором размерностей представления называется вектор пространства задаваемый формулой

Для того чтобы сформулировать основные свойства в удобной для нас форме, введем некоторые обозначения, которые будут систематически использоваться в следующем параграфе. Обозначим через подгруппу в образованную векторами с целыми компонентами: Вектор называется положительным, если для всех Обозначим через множество положительных векторов из Для любого определим линейное преобразование о; пространства формулой В случае когда форма положительно определена, является обыкновенным отражением относительно плоскости, ортогональной к Действительно, поэтому если то несложное вычисление показывает, что

Лемма b. Пусть — представление ацикличного колчана Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) тогда и только тогда, когда вектор нулевой. Если то в том и только том случае, если ;

(iii) если является источником в а представление неразложимо и неизоморфно представлению то ;

(iv) если сток а представление неразложимо и неизоморфно

Утверждения непосредственно вытекают из определения вектора размерностей. Свойства являются переформулировкой одного из утверждений предложения 8.7 с учетом формулы (3).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)