§ 11.2. Свойства когомологий

Поразительно, что модули когомологий алгебр играют столь большую роль в структурной теории. Интуитивно почти невозможно уловить содержание определения 11.1b. Однако по мере освоения материала этой главы мы сможем по достоинству оценить это новое понятие.

В настоящем параграфе приведены наиболее важные свойства модулей когомологий. Удивительно, что большинство фактов о когомологиях выводятся из четырех основных утверждений. В действительности, если предполагать выполненными некоторые «условия естественности», то данные четыре свойства однозначно определяют модули когомологий.

Теорема. Нульмерные когомологии. Если некоторый -бимодуль, то

Аддитивность. Если гомоморфизмы -бимодулей из и то для всех имеем

Длинная точная последовательность. Предположим, что модуль проективен, и пусть

— короткая точная последовательность -бимодулей. Тогда для каждого существует гомоморфизм R-модулей (зависящий от 2), такой, что следующая последовательность точна:

Коиндуцированные бимодули. Пусть левый А-модуль; положим Тогда является -бимодулем относительно следующих операций умножения на скаляры: При этом для всех имеем Если является -бимодулем, то имеется инъективный гомоморфизм бимодулей определяемый формулой

Первые два утверждения этой теоремы легко следуют определений. Так, по определению

для всех Для получения аддитивности заметим, что если то Следовательно, при имеем

Длинная точная последовательность будет построена в следующем параграфе при помощи леммы о змее. Завершим этот параграф доказательством того, что коиндуцированные бимодули имеют тривиальные когомологии.

Путем обычных вычислений, использующих тот факт, что — гомоморфизм -модулей, устанавливается, что является -бимодулем. Легко видеть, что если есть -бимодуль, то гомоморфизм бимодулей, который инъективен, так как Остается показать, что для всех Определим отображение формулой

Если то композиции являются эндоморфизмами -модуля причем тождественное отображение. Действительно,

(здесь используется определение умножения справа элементов из на элементы из и

Вычитая соответствующие части этих уравнений, получим

Таким образом, если то

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)