ГЛАВА 19. Алгебры с делением над трансцендентными полями

В этой главе мы рассматриваем центральные простые алгебры над полями, являющимися трансцендентными расширениями своих простых подполей. В то время как об алгебрах над локальными и глобальными полями мы располагаем богатой информацией, нашедшей отражение в двух последних главах, наши знания об алгебрах над трансцендентными полями довольно скудны. Наиболее важным результатом в этой области является теорема Тзена. Она будет доказана в § 4. Теорема Тзена является обобщением теоремы Веддербёрна о конечных алгебрах с делением. Пользуясь свойствами приведенных норм, мы получим результат, содержащий теорему Тзена и теорему Веддербёрна в качестве частных случаев. Теорема Тзена лежит в основе большинства работ по группам Брауэра трансцендентных расширений. В § 5 мы воспользуемся ею для доказательства относительного варианта теоремы Ауслендера-Брюмера-Фаддеева, описывающего группу Изучение этой группы в § 6 приводит к конструкции алгебр с делением, проясняющей связь между индексом Шура и экспонентой центральной простой алгебры. В последних трех параграфах исследуются алгебры над полями рядов Лорана.

§ 19.1. Норменная форма

В лемме 16.3а отмечалось, что приведенную норму центральной простой F-алгебры можно вычислить через значения некоторого однородного полинома. Теперь мы исследуем эту связь более обстоятельно. В частности, будет показано, что коэффициенты этого полинома (формы) лежат в поле Для удобства читателя напомним некоторые простые свойства однородных полиномов.

Пусть независимые коммутирующие переменные. Ненулевой полином называется формой степени от переменных, если где сумма берется всем последовательностям неотрицательных целых чисел, таких, что Символы

используемые для обозначения переменных, часто будут заменяться другими буквами, записанными жирным шрифтом. Если нет необходимости явно указывать переменные, мы будем писать вместо На протяжении этого параграфа F будет произвольным полем.

Лемма, (i) Если полином определен формулой то —форма степени .

(ii) Если то форма степени тогда и только тогда, когда форма степени форма степени .

(iii) Если -форма степени и Чгте -формы степени I, то либо нулевой полином, либо форма степени

Доказательство. По определению где сумма берется по всем перестановкам и множества Следовательно, форма степени Простое вычисление показывает, что если форма степени форма степени то форма степени Для доказательства обратного положим где ненулевые однородные полиномы, такие, что Произведение совпадает с суммой где если или если или Если произведение однородно, то обязательно т. е. формы. Последнее утверждение леммы с помощью индукции получается из (ii) и замечания о том, что ненулевая сумма полиномов, которые однородны и имеют степень снова однородный полином степени

Две формы называются эквивалентными если существует обратимая матрица такая, что

В этом случае мы будем писать Если то Таким образом, отношение симметрично; оно также рефлексивно и транзитивно, т. е. отношение эквивалентности.

Пусть А — конечномерная F-алгебра и Положим где независимые коммутирующие переменные. Отображение вложения индуцирует инъективный гомоморфизм F-алгебр в

Обычно бывает удобно рассматривать алгебру как F-подалгебру алгебры Элемент называется общим элементтом алгебры А, если где базис алгебры Употребление такой терминологии оправдывается следующим замечанием: гомоморфизм F-алгебры -алгебру F, определяемый по правилу индуцирует гомоморфизм переводящий элемент в элемент Поэтому каждый элемент алгебры является образом элемента при подходящем гомоморфизме алгебры в алгебру

Предложение. Пусть алгебра степени Положим где коммутирующие переменные. Для общего элемента положим по определению Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) - неприводимый однородный полином степени ;

(ii) если то существуют такие элементы что ;

(iii) если общий элемент алгебры А, то формы эквивалентны. Обратно, если такая форма, что то где общий элемент алгебры А.

Для упрощения доказательства этого предложения и других утверждений этой главы мы будем использовать векторные обозначения: а для вектора-строки для строки неизвестных. Нулевой вектор обозначается через 0. В нашем предложении Как обычно, обозначают векторы-столбцы, полученные из с помощью транспонирования.

Доказательство предложения. Пусть расширение Поля такое, что поле расщепляет алгебру предположим, что расщепляющее представление алгебры Тензорное произведение является расщепляющим представлением, которое можно использовать для вычисления полинома Если где базис алгебры то полином либо является формой

степени в кольце либо нулевой. Согласно следствию Следовательно,

Если то для однозначно определенного вектора Значит,

Это вычисление доказывает утверждение оно также показывает, что поскольку Следовательно, форма степени Пусть общий элемент алгебры например где базис алгебры Тогда существует элемент такой, что Следовательно, так что Обратно, если то где элемент является общим элементом алгебры Остается показать, что полином неприводим.

Согласно предложению 13.2а, общий элемент алгебры в соответствии с определением Матрица также является общим элементом алгебры Следовательно, над кольцом Ясно, что Элементарное рассуждение, связанное со степенями, набросок которого приведен в упр. 2, показывает, что полином неприводим в кольце Отсюда легко следует, что полином также неприводим.

Однородные полиномы называются норменными формами алгебры Они образуют класс эквивалентных форм в кольце Когда мы пользуемся норменными формами, нам обычно неважно, какой представитель этого класса выбран. Любой такой представитель обозначается через

Следствие. Если алгебра степени то она является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда единственным нулем норменной формы является тривиальный, т. е. равенство при возможно лишь для

Это следствие является переформулировкой следствия 16.3а в терминах норменной формы алгебры

Упражнения

(см. скан)