§ 4.5. Артиновы алгебры являются нётеровыми

Одним из наиболее красивых приложений предложения 4.4 является результат, указанный в названии параграфа. Фактически мы докажем более общее утверждение, касающееся модулей.

Предложение. Пусть А — артинова (слева или справа) алгебра и артинов -модуль. Тогда модуль нётеров.

Доказательство. Положим Ввиду артиновости найдется, согласно предложению 4.4, такое натуральное число что В частности, существует минимальное число для которого (Мы рассматриваем случай правых Л-модулей; доказательство для левых модулей получается заменой «правых» понятий на «левые».) Проведем индукцию по Если то а нулевой модуль, очевидно, нётеров. Пусть Условие означает, что можно рассматривать как модуль над алгеброй Так как алгебра полупроста в силу следствия 4.1а, то, согласно предложению каждый правый (левый) -модуль полупрост (здесь используется тот факт, что понятия полупростоты слева и справа совпадают). Следовательно, модуль нётеров ввиду предложения 2.6. Так как по лемме 2.1а решетки совпадают, то модуль также нётеров. Предположим, что Шаг индукции основывается на лемме Положим Тогда модуль артинов и Поэтому из разобранного случая вытекает нётеровость Фактормодуль также артинов и по предположению индукции он нётеров. Следовательно, и модуль нётеров.

Следствие а. Если R-алгебра А артинова справа (слева), то она и нётерова справа (соотв. слева).

Следствие Пусть А — артинова справа R-алгебра, правый -модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) М артинов,

(iii) М конечно порожден.

Доказательство. Согласно предложению настоящего параграфа, (i) влечет за собой а в силу предложения 2.6 из (ii)

следует (iii). (В § 2.6 мы отмечали, что конечная порождаемость модуля является следствием условия обрыва возрастающих цепей без каких-либо дополнительных предположений.) Наконец, предположим, что Тогда существует сюръективный гомоморфизм -модуля на определяемый формулой

В силу артиновости из леммы вытекает артиновость модуля а потому модуль также артинов.

Упражнение

(см. скан)

(см. скан)