§ 18.5. Группы Брауэра полей алгебраических чисел

Из теоремы Алберта — Хассе — Брауэра — Нётер вытекает, что группу Брауэра поля алгебраических чисел можно вложить в произведение счетного числа экземпляров группы Основная теорема этого параграфа дает точное описание этого вложения.

Теорема. Пусть поле алгебраических чисел. Тогда существует точная последовательность

где если нормирование дискретно, если вещественно, и в случае комплексного

Гомоморфизм это просто отображение а гомоморфизм копроизведение у отображений вложения т. е.

Доказательство этой теоремы занимает всю оставшуюся

часть главы. Мы уже отмечали, что инъективность гомоморфизма эквивалентна теореме Алберта-Хассе-Брауэра-Нётер. Основная часть этого параграфа посвящена доказательству того, что образ отображения является подгруппой в Этот факт получается с помощью элементарных соображений. Наиболее глубокая часть доказательства состоит в установлении точности последовательности в члене Мы докажем этот факт в § 18.7, используя вспомогательные результаты § 18.6 и две основные теоремы теории полей классов. Очевидно, что отображение у сюръективно: если что

Лемма. Если поля алгебраических чисел и то для почти всех нормирований

Доказательство. Мы можем предполагать, что расширение Галуа. В противном случае включим К в поле алгебраических чисел, являющееся расширением Галуа поля и заметим, что если и — продолжение на нормирования то индекс делит В частности, если для почти, всех нормирований то для почти всех Из предположения о том, что расширение Галуа, следует, что также расширение Галуа и что поле не зависит от выбора продолжения нормирования Кроме того, так что достаточно показать, что расширение неразветвлено для почти всех нормирований Пусть Если минимальный полином элемента у над полем то он унитарен, неприводим и все его корни различны. Следовательно, он взаимно прост со своей производной Поскольку является областью главных идеалов, то для подходящих полиномов и из Формула произведения обеспечивает существование конечного множества X нормирований поля содержащего и такого, что для всех нормирований Следовательно, если то можно рассмотреть образы и полиномов при отображении кольца в кольцо . Мы имеем . Следовательно, все корни полинома в расширении поля различны. Согласно предложению 17.8, расширение неразветвлено для всех нормирований т. е. для почти всех нормирований

Предложение. Пусть поле алгебраических чисел и Тогда для почти всех нормирований

Доказательство. Отображение постоянно на классах эквивалентности центральных простых алгебр над полем Поэтому мы можем предположить, что алгебра скрещенное произведение, например где расширение Галуа, В силу формулы произведения и леммы существует конечное множество такое, что если и нормирование делит то дискретно, расширение неразветвлено и для всех Мы покажем, что в этом случае Выбор множества X обеспечивает нам локальность поля и неразветвленность расширения для всех нормирований Согласно предложению 17.8, расширение циклично; пусть, например, Положим Из определения скрещенных произведений следует, что для всех В силу предложения В самом деле, где В обозначениях Поскольку то для всех Поэтому В силу леммы 17.9 имеем включение Следовательно, согласно лемме

Следствие. Если поле алгебраических чисел, то образ отображения подгруппа группы

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)