§ 7.5. Почти расщепляющиеся последовательности

Почти расщепляющейся последовательностью называется такая простая -последовательность что модуль неразложим и выполняется следующее условие: если гомоморфизм модулей, который не является расщепляющейся сюръекцией, то пропускается через т. е. для некоторого Последнее условие можно выразить в виде диаграммы, аналогичной характеризации проективных модулей:

Предложение. Пусть и простая -последовательность. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) - почти расщепляющаяся последовательность;

(iii) минимальна в

Доказательство. Предположим, что — почти расщепляющаяся последовательность. Если последовательность

проста, то не является расщепляющейся сюръекдией, и поэтому существует гомоморфизм такой, что Тогда является морфизмом из в , так что . Ясно, что условие (ii) не менее сильное, чем Предположим, что последовательность минимальна. Пусть гомоморфизм, который не является расщепляющейся сюръекдией. Определим гомоморфизм формулой Очевидно, что сюръективен. При этом не может расщепляться. В противном случае нашелся бы гомоморфизм такой, что Пусть где Из определения следует, что Ввиду неразложимости из предложения 5.2 и следствия 5.3 вытекает, что один из гомоморфизмов или обратим. Тогда соответственно либо расщепляет либо сюръективен и расщепляется гомоморфизмом Обе возможности противоречат предположению о том, что ни ни не являются расщепляющимися сюръекциями. Положим и пусть

Из определения вытекает, что вложение удовлетворяет условию так что является морфизмом. По лемме морфизм является расщепляющейся инъекцией. Поэтому существует морфизм со свойством Определим гомоморфизм равенством для всех Из определения вытекает, что

ибо является морфизмом. Значит, последовательность почти расщепляется.

Следствие. Если А — алгебра ограниченного типа, а модуль не является проективным, то существует почти расщепляющаяся -последовательность . Кроме того,

последовательность определяется однозначно с точностью до изоморфизма в категории

Доказательство. Ввиду того что модуль не является проективным, класс непуст. Предложение 7.4 гарантирует существование в минимальной последовательности ; согласно предложению настоящего параграфа, эта последовательность почти расщепляется, ибо неразложим. Кроме того, предложение показывает, что любой минимальный элемент в является наименьшим и поэтому ввиду следствия определен однозначно с точностью до изоморфизма.

Упражнение

(см. скан)

Изложенная в § 7.3, 7.4 и 7.5 теория допускает дуализацию в категорном смысле (т. е. обращение стрелок). Данное упражнение (вместе с двойственным утверждением) показывает, что понятие почти расщепляющейся последовательности двойственно самому себе.

Изучая почти расщепляющиеся последовательности, мы лишь поверхностно затронули область, в которой ведутся очень активные исследования. Ауслендер и Райтен доказали существование почти расщепляющихся последовательностей при гораздо более общих предположениях, чем в следствии данного параграфа. Кроме того, они дали другие характеризации таких последовательностей и значительно продвинулись в прояснении их структуры. Основными работами по этой теме являются статьи [14] и [15].