§ 2.7. Радикал

Завершим эту главу характеризацией конечно порожденных полупростых модулей.

Определение. Пусть произвольный -модуль. Радикалом модуля называется пересечение

Конечно, может случиться, что в вообще нет подмодулей с простым фактормодулем В этом случае является пересечением пустого подсемейства из и мы принимаем

Лемма а. Пусть некоторый -модуль. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) является подмодулем модуля

(ii) если то условие влечет за собой

Эти факты стандартным образом выводятся из теоремы о соответствии.

Лемма Если полупростой -модуль, то Доказательство. Пусть каждый модуль прост. Положим Тогда фактормодуль прост, так что

Предложение. -модуль является конечно порожденным и полупростым в том и только том случае, когда он артинов и

Доказательство. Если конечно порожден и полупрост, то он артинов, согласно предложению 2.6, и по лемме Обратно, предположим, что артинов и Можно также считать, что Так как существует такое непустое семейство что фактормодули просты для всех Артиновость гарантирует существование в семействе минимального пересечения При этом обязательно в противном случае для некоторого и тогда что противоречит минимальности Определим отображение положив Очевидно, что является гомоморфизмом -модулей с ядром Следовательно, модуль изоморфен подмодулю полупростого модуля так что сам полупрост ввиду следствия 2.4а. Согласно предложению является также конечно порожденным.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 2

Содержание этой главы можно вполне охарактеризовать выражением «стандартная алгебра». Мы заимствовали терминологию и общий подход из книги Картана и Эйленберга [21]. В частности, ключевое предложение из § 2.4 значится в книге [21] как утверждение 1.4.1.