§ 3.5. Структурная теорема Веддербёрна

В этом параграфе мы соберем воедино уже имеющиеся у нас факты и получим основной результат этой главы.

Теорема. Пусть А — полупростая (слева или справа) R-алгебра. Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) существуют такие натуральные числа и такие R-алгебры с делением что

(ii) пары удовлетворяющие (1), определяются алгеброй А однозначно с точностью до изоморфизма;

(iii) обратно, если некоторые алгебры с делением над то R-алгебра является полупростой и справа, и слева.

Доказательство Если алгебра А полупроста справа, то где прямая сумма экземпляров некоторого минимального правого идеала алгебры А, причем для идеалы неизоморфны. По лемме при Тогда существование изоморфизма

(1) вытекает из предложения 1.3 и следствий и 3.4а. Действительно, где являются по лемме Шура алгебрами с делением. Аналогичный результат может быть получен и для полупростых слева алгебр; при этом надо использовать минимальные левые идеалы и эндоморфизмы левых модулей.

(ii) Предположим, что где есть некоторая алгебра с делением над Согласно примеру 3.3 и лемме 3.2а, алгебра рассматриваемая как -модуль, изоморфна прямой сумме экземпляров минимального правого идеала алгебры такого, что Так как каждая алгебра есть идеал в содержащий то из предложения 3.2 вытекает, что при Тогда единственность разложения в прямую сумму простых модулей, установленная в предложении 2.5, приводит к требуемому результату: и при подходящем упорядочении как Л-модули; следовательно,

Из примера 3.3 и его левостороннего аналога вытекает, что каждая из -алгебр является полупростой и слева, и справа. Следовательно, алгебра также полупроста и слева, и справа согласно следствию 3.2а.

Утверждения данной теоремы содержат обещанное ранее доказательство того факта, что классы полупростых слева и полупростых справа алгебр совпадают. Кроме того, для простой алгебры условия обрыва убывающих цепей правых и левых идеалов эквивалентны.

Следствие а. Артинова (слева или справа) алгебра А является простой в том и только том случае, если для некоторого натурального числа и подходящей алгебры с делением При этом число определяется алгеброй А однозначно, а алгебра с точностью до изоморфизма.

Для некоторых полей F все конечномерные алгебры с делением над F коммутативны. В этом случае структурная теорема приводит к более сильным утверждениям о конечномерных полупростых алгебрах — все обязаны быть полями. Наилучший результат получается для алгебраически замкнутого поля

Лемма. Пусть алгебраически замкнутое поле. Тогда не существует отличных от F конечномерных F-алгебр с делением.

Доказательство. Положим Тогда, если то степени линейно зависимы, так что существует унитарный полином минимальной степени, для которого Поскольку алгебра с делением и степень минимальная из возможных, полином неприводим над Следовательно, а для некоторого ибо F алгебраически замкнуто. Таким образом,

Следствие Пусть алгебраически замкнутое поле. Конечномерная F-алгебра А является полупростой в том и только том случае, если она изоморфна прямой сумме причем последовательность чисел однозначно определяется классом изоморфизма алгебры А. Кроме того, алгебра А проста тогда и только тогда, когда где

Это утверждение следует из леммы и структурной теоремы.

Упражнения

(см. скан)