§ 14.3. Теорема о произведении

Цель настоящего параграфа — завершить доказательство теоремы 14.2. Нам осталось лишь показать, что соответствие между группами установленное в § 14.2, является групповым гомоморфизмом.

Предложение. Пусть расширение Галуа с группой Галуа Если то

Доказательство предложения основано на двух леммах, первая из которых элементарна и бывает полезна в различных ситуациях.

Лемма а. Пусть ненулевой идемпотент алгебры А. Тогда

Доказательство. Пусть минимальный правый идеал алгебры А. Поскольку А конечномерна и проста, то из предложения З.ЗЬ вытекает, что (изоморфизм правых -модулей) при подходящем В силу следствий где является алгеброй с делением. Таким образом, алгебра проста и В частности, если то Следовательно,

Мы будем доказывать предложение, применяя лемму а к алгебре и идемпотенту удовлетворяющему условию Такой идемпотент содержится в подалгебре алгебры Структура алгебры известна из примера 9.4: если то где минимальный полином элемента над полем Поскольку расширение Галуа, то есть произведение различных линейных множителей в Согласно китайской теореме об остатках, алгебра изоморфна произведению экземпляров поля Следовательно, алгебра содержит подмножество попарно ортогональных примитивных идемпотентов таких, что .

Покажем, что один из этих идемпотентов удовлетворяет условию Для отыскания такого нам потребуются некоторые сведения об идемпотентах алгебры Более пристальное рассмотрение разложения алгебры в произведение нескольких экземпляров позволяет установить вторую лемму этого параграфа.

Лемма Пусть расширение Галуа с группой Положим Тогда существует множество такое, что

(iii) отображение с является изоморфизмом поля на

(iv) если ненулевой идемпотент, такой, что для всех с то

Доказательство. Так как всякое расширение Галуа обладает примитивным элементом, то Пусть минимальный полином элемента над тогда где для Для автоморфизма положим

где По построению если Следовательно, — многочлен степени, меньшей, чем и имеющий различных корней. Поэтому

Для каждого определим с помощью равенства Из (1) тогда следует, что

Кроме того, если то

и

для некоторых Положим Так как

элементы линейно независимы, то ввиду предложения 9.1с . В то же время

так что и еаех при силу (2), (3) и (4). Следовательно, что доказывает утверждение Кроме того, для всех Утверждение (ii) вытекает из этого замечания, поскольку степени порождают и действует тривиально на элементах поля Так как поле, то отображение является изоморфизмом между для всякого ненулевого идемпотента Это замечание доказывает утверждение потому что в силу Предположим, что ненулевой идемпотент из такой, что для всех с Если то с при некотором Следовательно, поскольку элемент ядра отображения В силу С другой стороны, ненулевой идемпотент поля так что

Докажем теперь наше предложение. Пусть алгебра представима в виде где В силу леммы а для доказательства предложения достаточно найти ненулевой идемпотент ее такой, что Условия означают, что существуют гомоморфизмы -алгебр и множества такие, что

и

Нашей целью является нахождение ненулевого идемпотента ненулевого гомоморфизма и множества таких, что -максимальное подполе алгебры

при Отсюда в силу леммы а будет тогда следовать, что Тот факт, что алгебра В централизует алгебру и что R является коммутативной подалгеброй алгебры будет часто использоваться в оставшейся части доказательства. Применим лемму к алгебре чтобы доказать существование идемпотентов таких, что

отображение

является изоморфизмом между -алгебрами

единственный ненулевой идемпотент алгебры удовлетворяющий этому условию. Положим с помощью формулы Заметим, что в силу (9). Следующие равенства вытекают из (5) и (9):

Действительно,

так что иаеиа -ненулевой идемпотент алгебры так как алгебра В централизует Итак, Аналогичное вычисление дает второе из равенств (10). Из (7) и (10) следует, что если то Таким образом, где В силу леммы а Таким образом, имеем и - максимальное подполе алгебры

Так как то элементы обратимы в алгебре Если то Наконец,

Упражнение

(см. скан)