§ 11.4. Размерность
Геометрическое понятие размерности может быть перенесено в алгебраическую ситуацию благодаря использованию групп когомологий Хохшильда. Из топологии хорошо известно, что последовательность групп когомологий 
-мерного многообразия обращается в нуль в размерностях, превышающих 
в то время как 
для подходящим образом подобранной области коэффициентов. Сходство в определениях и свойствах когомологий Хохшильда и топологических когомологий наводят на мысль, что аналогичное понятие размерности может оказаться плодотворным инвариантом для алгебр. Эта идея и составляет тему настоящего и двух последующих параграфов. В частности, мы покажем, что алгебры нулевой размерности — это в точности сепарабельные алгебры, которые изучались в гл. 10.
Начнем с одной полезной леммы, которая также может служить мотивировкой определения размерности.
Лемма. Пусть А есть R-алгебра, которая является проективным R-модулем. Предположим, что натуральное число 
обладает свойством 
для всех 
-бимодулей 
Тогда, если 
для всех 
-бимодулей 
Доказательство. Ввиду очевидных индуктивных соображений достаточно доказать, что 
для всех 
В силу теоремы 11.2 имеется короткая точная последовательность 
-бимодулей 
такая, что 
для всех 
Это свойство бимодуля 
с учетом условия леммы приводит к следующему отрезку соответствующей длинной точной последовательности:
Таким образом, 
Определение. Пусть А — нетривиальная 
-алгебра. Ее размерностью называется число
Если для любого 
существует 
-бимодуль 
со свойством 
то размерность 
равна 
Следует отметить, что под знаком 
в этом определении стоит непустое множество, ибо 
в частности, 
поскольку алгебра 
нетривиальна.
Пусть R-алгебра А удовлетворяет условию, что модуль 
проективен. Тогда из предыдущей леммы вытекает, что если 
для всех бимодулей 
то 
В заключение этого параграфа переформулируем условие того, что алгебра имеет размерность, не превосходящую двух, в более привычных терминах.
Элементами модуля 
являются билинейные отображения 
со свойством 
т. е.
для всех х, у, z из А. Билинейное отображение, удовлетворяющее (1), называется системой факторов алгебры 
со значениями в бимодуле 
Такие отображения встречаются при изучении расширений групп и алгебр. Системы факторов вида 
где 
некоторое линейное отображение, называются расщепляющимися. Согласно определению 11.1а, 
это система факторов 
определяемая соотношением
Из леммы получаем следующий результат.
Следствие. Если алгебра А является проективным R-модулем, то 
в том и только том случае, если каждая система факторов алгебры А со значениями в любом бимодуле 
расщепляется.
Упражнение
(см. скан)
