Предисловие

Многие считают, что жизнь не кончается в 40 лет; некоторые математики полагают, что алгебра не кончается на теории Галуа. Данная книга призвана подкрепить этот тезис. Предназначена она в первую очередь студентам, которые освоили значительную часть стандартного учебника высшей алгебры и приобрели определенный опыт. Однако она заведомо не повредит и тем, кто не относится к этой категории читателей.

Эта книга посвящена ассоциативным алгебрам, большей частью конечномерным ассоциативным алгебрам над некоторым полем. Сам предмет идеально подходит для написания учебника, который мог бы подвести студента к самостоятельным исследованиям. Многие теоремы об ассоциативных алгебрах принадлежат к числу самых замечательных достижений таких выдающихся алгебраистов, как Веддербёрн, Артин, Э. Нётер, Хассе, Брауэр, Алберт, Джекобсон. Доказательства этих глубоких результатов ныне настолько усовершенствованы, что стали доступны студентам, обладающим скромным математическим багажом. Предмет этот уникален по обилию связей с другими направлениями математики. Он имеет многочисленные применения в теории групп, теории коммутативных колец, теории полей, алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии, гомологической алгебре и теории категорий; в свою очередь эти области много дают для теории ассоциативных алгебр. Имеет она связь и с некоторыми разделами прикладной математики.

Мы не стремились сделать эту книгу энциклопедией ассоциативных алгебр. Подобная книга была бы полезна исследователю, но, однако, не удовлетворяла бы потребностям начинающего математика. С другой стороны, наша книга — не переложение уже существующих пособий по теории ассоциативных алгебр. Классические результаты обсуждаются в ней более глубоко, чем в большинстве рассчитанных на студентов курсов по этой тематике; в значительной мере отражены в ней и новейшие достижения теории алгебр. Серьезный студент найдет здесь немало возможностей испытать свои силы и будет вознагражден, преодолев возникшие трудности.

Монография распадается на две части. Одну из них, с первой главы по одиннадцатую, можно было бы озаглавить «классическая теория ассоциативных алгебр». Эта часть содержит основные теоремы о строении и представлениях ассоциативных алгебр, структурную теорему Веддербёрна для полупростых алгебр, основную теорему Веддербёрна, теоремы о строении проективных модулей над артиновыми алгебрами и недавние работы о типах алгебр. Вторая часть книги концентрируется вокруг центральных простых алгебр и понятия группы Брауэра поля. Глава 12 содержит необходимые технические средства для построения теории центральных простых алгебр: теорему плотности Джекобсона, теорему Сколема — Нётер и теорему о двойном централизаторе. Охватываемые второй частью вопросы довольно традиционны: поля разложения, когомологическая характеризация группы Брауэра, циклические алгебры, приведенная норма и ее приложения, группы Брауэра локальных и глобальных полей и, наконец, введение в работы Амицура по общим алгебрам.

Сложность материала в книге возрастает кусочно монотонно. Каждая глава открывается элементарным материалом, который затем постепенно усложняется. Последние несколько параграфов каждой главы содержат более специальные и трудные темы. В то же время средний уровень сложности глав нарастает. Поэтому книгу, по-видимому, лучше всего читать по порядку с самого начала и до конца.

Каждый параграф снабжен упражнениями, причины их включения обычны — они должны поддерживать у серьезного студента надлежащий тонус, избавлять автора от угрызений совести по поводу опущенных доказательств и, наконец, включать результаты, для которых не хватило места в основном тексте. Большинство упражнений несложно, нетривиальные задачи сопровождаются развернутыми указаниями. В действительности некоторые указания настолько подробны, что их вполне можно было бы назвать доказательствами.

Следуя установившейся традиции, мы завершим это предисловие выражением признательности друзьям, способствовавшим подготовке этой книги. Их список должен был бы включать имена нескольких десятков слушателей, посещавших лекции автора в университетах штатов Коннектикут, Аризона и Гавайи. Большинство из них так и останутся неназванными, однако особого упоминания заслуживают Хавьер Гомес, Ома Хамара, Элиот Джекобсон, Билл Уллери, Билл Белее и Куан-Шан Вон; их острый взгляд обнаружил ряд неточностей в первоначальном варианте рукописи. Чак Винсонхалер использовал часть книги в своих лекциях. Автор благодарен ему за исключительно ценные предложения и поправки.

Большая заслуга в том, что эта книга была завершена, принадлежит Мерилин Пирс. Только благодаря ее терпению и нетерпению первоначальные планы пришли к завершению. Она печатала, исправляла и снова исправляла рукопись. Мерилин щедро оказывала помощь и поддержку, несмотря на то, что долго хранила торжественное письменное обещание автора никогда больше не писать книг. Ей и посвящается эта книга.

Р. Пирс