§ 2.6. Условия обрыва цепей

Большинство полупростых модулей, с которыми мы встретимся в дальнейшем, будут конечными прямыми суммами простых модулей. Основное утверждение этого параграфа устанавливает эквивалентность нескольких условий конечности для полупростых модулей. Доказательство этого результата базируется на стандартных фактах теории модулей, которые имеют многочисленные приложения, не связанные с полупростыми модулями и алгебрами.

А-модуль называется артиновым (нётеровым), если удовлетворяет условию обрыва убывающих (возрастающих) цепей, т. е. не существует бесконечных строго убывающих (возрастающих) последовательностей подмодулей модуля Эквивалентно, модуль является артиновым (нётеровым), если

каждое непустое подмножество в имеет минимальный (максимальный) элемент.

В общем случае понятия артиновости и нётеровости независимы друг от друга. Например, модуль является нётеровым, но не является артиновым, в то время как -модуль является артиновым, но не является нётеровым. Мы увидим, что при наличии полупростоты эти условия эквивалентны.

Лемма а. Пусть и подмодули -модуля причем Тогда существует точная последовательность

Доказательство. Теорема Нётер об изоморфизме и свойство модулярности дают

Лемма Пусть точная последовательность -модулей. Тогда модуль артинов (нётеров) в том и только том случае, если оба модуля артиновы (нёте-ровы).

Доказательство. Без ущерба для общности можно предполагать, что В этом случае решетка является подрешеткой решетки а решетка согласно теореме о соответствии, изоморфна подрешетке решетки Следовательно, если модуль артинов (нётеров), то артиновыми (нётеровыми) являются модули Обратно, если бесконечная убывающая цепочка в то убывающая цепочка в а -убывающая цепочка в причем по лемме а хотя бы одна из этих цепочек бесконечна. Таким образом, из артиновости модулей следует артиновость модуля Доказательство для случая нётеровых модулей аналогично.

Лемма с. Предположим, что -модуль является артиновым и нётеровым. Тогда существует такая последовательность что все фактормодули являются простыми.

Доказательство. Если то Предположим, что Используя артиновость можно по индукции построить возрастающую последовательность подмодулей модуля такую, что все фактормодули являются простыми модулями. В самом деле, если члены уже получены и если то существует подмодуль модуля содержащий и такой, что фактормодуль является минимальным ненулевым подмодулем в ибо по лемме фактормодуль артинов. Ввиду нётеровости этот индуктивный процесс должен остановиться на некотором конечном шаге, т. е. для некоторого мы должны получить

Цепочка подмодулей модуля называется композиционным рядом, если фактормодули просты для всех Фактормодули называются композиционными факторами этого ряда. Они определены однозначно.

Теорема Жордана — Гёльдера. Если — два композиционных ряда модуля то и существует перестановка индексов такая, что для всех

Доказательство. Проведем индукцию по Если то Предположим, что Рассмотрим цепочку подмодулей По лемме а для имеет место точная последовательность

Так как модуль прост, то в точности один из модулей

изоморфен а другой равен 0. Кроме того, ввиду простоты модуля существует в точности один индекс такой, что Таким образом, является композиционным рядом в По

предположению индукции и существует биекция такая, что для всех Для завершения доказательства доопределим , положив

Если модуль двумя способами представлен в виде конечной прямой суммы простых модулей, скажем то применение теоремы Жордана — Гёльдера к композиционным рядам позволяет заключить, что для некоторой перестановки . Другими словами, теорема Жордана — Гёльдера приводит к элементарному доказательству частного случая предложения 2.5, когда рассматриваемые прямые суммы конечны.

Терминология. Пусть правый -модуль, являющийся одновременно артиновым и нётеровым. Согласно лемме с, модуль обладает композиционным рядом, длина которого по теореме Жордана — Гёльдера определена однозначно. Число композиционных факторов в композиционном ряде модуля называется его композиционной длиной. Это число будет обозначаться через Следующие два полезных замечания являются очевидными следствиями этого определения: тогда и только тогда, когда число равно 1 в том и только том случае, если модуль прост.

Следствие. Пусть модули, являющиеся одновременно артиновыми и нётеровыми. Если точная последовательность гомоморфизмов, то

Доказательство. Без потери общности можно предполагать, что модуль является подмодулем модуля Если композиционный ряд модуля композиционный ряд модуля то есть композиционный ряд модуля Таким образом,

Предложение. Пусть полупростой правый -модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) М конечно порожден как -модулы

(ii) , где каждый модуль прост ;

(iii) артинов;

(v) существует такое число что длина любой конечной строго возрастающей последовательности подмодулей не превосходит

Доказательство. Условия эквивалентны. В самом деле, согласно предложению 2.3, из (ii) следует условие (ii) является следствием каждого из условий ибо модуль полупрост (т. е. является прямой суммой простых модулей), а бесконечная прямая сумма ненулевых модулей не может быть ни конечно порожденным, ни артиновым или нётеровым модулем. Так как простые модули являются, очевидно, артиновыми и нётеровыми, то оба условия выводятся из (ii) при помощи леммы путем индукции по Из очевидно, вытекает артиновость и нётеровость модуля Обратно, если является артиновым и нётеровым, то любая строго возрастающая последовательность подмодулей модуля имеет самое большее членов (что выводится из следствия при помощи индукции).

Некоторые импликации в этом предложении справедливы для произвольных модулей. Наше доказательство показывает, что условие (v) эквивалентно совокупности условий Кроме того, каждый нётеров -модуль конечно порожден: в противном случае аксиома выбора давала бы нам возможность найти бесконечную последовательность из, элементов модуля такую, что что вело бы к противоречию с условием обрыва возрастающих цепей.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)