ГЛАВА 10. Сепарабельные алгебры

В этой главе вводится класс сепарабельных алгебр, которые обладают некоторыми важными свойствами, присущими полупростым алгебрам. Для -алгебр условие сепарабельности является более ограничительным, чем полупростота. Цель этой главы — дать эффективную характеризацию сепарабельных алгебр над полями. В процессе ее получения мы установим ряд свойств сепарабельных алгебр, которые имеют важные применения даже в случае полупростых алгебр.

Определение сепарабельных алгебр использует понятия, которые были введены топологами при изучении многообразий. Замечательно, что идеи гомологической алгебры оказались столь плодотворными в теории колец. В этой главе мы постараемся продемонстрировать силу этих абстрактных методов. Они позволят нам дать элегантные доказательства некоторых очень глубоких результатов.

§ 10.1. Бимодули

Содержание § 9.5 наводит на мысль о том, что бимодули должны играть важную роль при изучении алгебр. Эта и последующая главы послужат подтверждением того, что понятие бимодуля относится к числу центральных понятий теории алгебр. В некотором смысле бимодули — не более общие объекты, чем модули. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы объяснить, как изучать бимодули средствами теории модулей.

Пусть А — некоторая -алгебра. Противоположной алгеброй называется -алгебра А, которая как -модуль совпадает с А, но имеет операцию умножения о, определяемую формулой Стандартное вычисление показывает, что А является -алгеброй и

Определение. Обертывающей алгеброй для -алгебры А называется алгебра

Важно отметить, что определение алгебры существенным образом зависит от кольца скаляров Если рассматривать А

как алгебру над другим коммутативным кольцом S (например, подкольцом кольца R или центра то соответствующая обертывающая алгебра вообще говоря, отличается от Здесь впервые в этой книге роль кольца R становится существенной. Поэтому мы будем говорить об -алгебрах, а не просто об алгебрах.

Умножение в алгебре удовлетворяет соотношению

В самом деле, согласно Как правило, противоположная алгебра А будет встречаться в наших рассмотрениях только как сомножитель обертывающей алгебры, и поэтому благодаря (1) можно избежать использования символа о для обозначения произведения.

Пусть А — некоторая -алгебра. Напомним, что является -бимодулем, если одновременно является правым и левым -модулем, причем

для всех и , Здесь выражения и являются, конечно, сокращенной записью произведений соответственно. Тождество (3) показывает, что структура -модуля на алгебре играет при рассмотрении бимодулей важную роль. В случае когда можно рассматривать как алгебру над двумя различными коммутативными кольцами необходимо различать -бимодули и -бимодули.

Предложение. Пусть А — некоторая R-алгебра. Любой А-бимодуль является правым -модулем, умножение на скаляры в котором удовлетворяет условию

для Обратно, любой правый -модуль является -бимодулем с операциями Если являются -бимодулями, то

Короче говоря, категории -бимодулей и правых -модулей изоморфны. Мы будем свободно пользоваться переходом от -бимодулей к -модулям и обратно в зависимости от того, какая трактовка нам более удобна в рассуждениях.

Доказательство этого предложения аналогично рассуждениям из § 9.2. Если является -бимодулем, то, согласно (3), отображение произведения в

является билинейным. Это отображение индуцирует единственный гомоморфизм -модулей . Для и положим Условие (4) выполняется по построению, а из (1) и (4) вытекает, что

Остальные тождества из определения модуля являются простыми следствиями наших определений. Доказательство обратного утверждения проводится аналогично, при этом для получения соотношений (2) и (3) используются равенства

Отметим, что функторы и являются взаимно обратными. Последнее утверждение предложения стандартным образом вытекает из (4).

Следствие. Если А — некоторая R-алгебра, то она является правым -модулем, а есть -бимодуль.

Очевидно, что А является -бимодулем, а правым -модулем, поэтому утверждение следствия вытекает из предыдущего предложения.

Упражнения

(см. скан)