§ 9.3. Тензорные произведения модулей над алгебрами

Пусть некоторые -алгебры. Если правый -модуль, правый -модуль, то являются также R-модулями и их тензорное произведение наделяется структурой -модуля. В этом параграфе исследуются гомологические аспекты этой конструкции.

Лемма. Если правый -модуль, правый -модуль, то является правым А -модулем, причем операция умножения на скаляры в нем удовлетворяет условию

Доказательство существования операции умножения элементов из справа на элементы из удовлетворяющей (1), почти дослово повторяет доказательство предложения 9.2а. Полезно в качестве упражнения воспроизвести детали рассуждений.

Предложение. Пусть правые -модули, правые -модули. Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) если

(ii) отображение индуцирует гомоморфизм R-модулей

(iii) является гомоморфизмом алгебр.

Доказательство. Ввиду того что являются гомоморфизмами модулей, имеем Утверждение (i) вытекает отсюда, если воспользоваться леммой 9.1а.

Существование гомоморфизма следует из билинейности отображения и свойства универсальности тензорных произведений. Чтобы избежать путаницы при доказательстве утверждения будем обозначать тензоры ранга один в через Таким образом, по определению Следовательно, согласно

Отсюда вытекает, что — гомоморфизм алгебр. О

В общем случае гомоморфизм не является ни инъективным, ни сюръективным (см. упр. 3). Однако в случаях, представляющих для нас наибольший интерес, изоморфизм.

Пример. 8 отображает Нотв изоморфно на Именно этого и следовало ожидать, ибо и в силу упражнения Тем не менее некоторое обоснование необходимо. Определим ->- равенством Из леммы 6.4 вытекает, что является изоморфизмом. Прямое вычисление (использующее лемму 9.1а) показывает, что диаграмма

коммутативна. Следовательно, — изоморфизм.

Следствие а. Предположим, что правые -модули, а левые -модули, причем свободные модули с конечными базисами Тогда гомоморфизм

является изоморфизмом. В частности,

Доказательство. Тот факт, что модули свободны, означает, что и для подходящих натуральных чисел тип. Учитывая приведенный выше пример,

предложение 9.1а и аддитивность функтора , получаем

Мы опускаем стандартную проверку того, что сквозной изоморфизм совпадает с 0. Другое доказательство (индуктивного характера) намечено в упр. 4.

Следствие

Этот результат является переформулировкой последнего утверждения следствия а. При этом используется изоморфизм установленный в следствии

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)