ГЛАВА 8. Представления колчанов

Эта глава посвящена еще одному направлению теории представлений алгебр, где сейчас ведутся активные исследования. Начало ему было положено работами Габриеля [34] и [35], который дал явную конструкцию неразложимых модулей для некоторых конечномерных -алгебр. Наиболее удивительный результат Габриеля — это обнаруженная им связь между теорией представлений алгебр и диаграммами Дынкина, которые возникают при изучении полупростых алгебр Ли. Эта связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли была прояснена И. Н. Бернштейном, И. М. Гельфандом и В. А. Пономаревым в [18]. Они показали, что многие алгебраические задачи допускают переформулировку на языке представлений колчанов. Примерами таких задач как раз и служат проблема характеризации ассоциативных алгебр конечного типа и структурная теория полупростых алгебр Ли.

Цель этой главы — ознакомить читателя с этим новым подходом к теории представлений. Она может также послужить введением в обширную литературу по представлениям колчанов и связанным с ними матричным задачам.

§ 8.1. Конструкция модулей

Начнем эту главу с выделения одного класса алгебр, имеющих простое строение и несложную теорию представлений. В действительности для алгебр этого класса можно явно построить все конечномерные неразложимые модули. Трудности здесь возникают при попытке охарактеризовать классы изоморфизма таких модулей. Этой проблемой мы и будем заниматься в настоящей главе.

Результатов этой главы недостаточно для характеризацни конечномерных алгебр конечного типа. Эта проблема пока остается открытой. Тем не менее, сопоставляя то, что мы получим в этой главе, с теоремой 6.7, результатами теории Мориты (предложение 9.6) и основной теоремой Веддербёрна, мы сможем в § 11.8 получить характеризацию алгебр конечного типа в одном довольно естественном классе алгебр.

Полезно ввести сейчас обозначения, которые будут сохраняться на протяжении всей главы. Пусть — некоторый колчан, т. е. конечный ориентированный граф, множеством вершин которого служит Как обычно, через F обозначается некоторое поле. Позднее мы будем предполагать, что оно бесконечно.

Для определения класса алгебр, являющихся основными в настоящей главе, обозначим через коммутативную полупростую -алгебру с базисом, состоящим из ортогональных идемпотентов

Мы хотим присоединить к ней радикал. Обозначим через пространство над F с базисом где множество ребер колчана Превратим в алгебру (без единицы), задавая на нулевое умножение. Таким образом, для того чтобы оказалось радикалом некоторой алгебры, полупростой факторалгеброй которой является алебра А, нужно ввести на структуры правого и левого -модулей. В явном виде структура модуля и кольца на определяется соотношениями

Лемма а. Наделим пространство умножением, задаваемым в базисе соотношениями (1) и (2). Тогда В становится F-алгеброй с единичным элементом причем Элементы образуют полный набор примитивных идемпотентов, которым отвечают главные неразложимые модули

Отображение устанавливает изоморфизм между графами Решетка идеалов алгебры В является дистрибутивной.

Доказательство. Ненулевыми произведениями из трех базисных элементов являются лишь произведения вида Таким образом, алгебра В ассоциативна. Из соотношений (1) и (2) очевидным образом следует, что элемент является единичным элементом алгебры В. В соответствии с является идеалом в В, удовлетворяющим условию причем алгебра полупроста. Поэтому Используя (1) и равенство получим, что Ввиду того что модуль прост, заключаем, что главный неразложимый модуль. Таким образом, элементы образуют полный набор примитивных идемпотентов алгебры В. Очевидно, что если и если

Следовательно, отображение задает изоморфизм между Для доказательства дистрибутивности решетки согласно предложению 4.6, достаточно показать, что решетка подбимодулей из является дистрибутивной; другими словами, решетка дистрибутивна, если рассматривать как -бимодуль. Согласно (2), представление является разложением в прямую сумму простых Л-бимодулей; при этом как бимодули в том и только том случае, когда В самом деле, если изоморфизм имеет место, то из того, что должно следовать, что так что Таким образом, в силу следствия (которое можно обобщить на бимодули посредством предложения 10.1) решетка является дистрибутивной.

Алгебра описанная в лемме а, зависит только от колчана Обратно, восстанавливается по алгебре В как Следовательно, эта лемма показывает, что любой колчан реализуется в качестве для подходящей конечномерной -алгебры В.

Принимая во внимание теорему 6.7 и тот факт, что решетка является дистрибутивной, мы видим, что в принципе не исключена возможность того, что алгебра В имеет конечный тип. Однако оказывается, что последнее имеет место только при определенных ограничениях на

Если конечно порожденный правый -модуль, то ввиду конечномерности В над F модуль является конечномерным -пространством. Для положим Очевидно, что является подпространством в а элементарное вычисление, основанное на (1), показывает, что Кроме того, элемент действует на как нулевое

отображение для всех а на как тождественное. Если то для согласно (2). Таким образом, умножение в на элементы однозначно определяется заданием линейных отображений где и

Для положим Очевидно, что является подпространством в Ввиду того что пересечение является подпространством в В частности, для всех Положил Поскольку ядро отображения содержит то индуцирует линейное отображение по правилу ихщц. Если то в том и только том случае, если для Таким образом, для

где пересечение распространяется на множество

Этот процесс допускает обращение, позволяющее по данным построить конечномерный -модуль.

Лемма Пусть наборы конечномерных F-пространств предположим что —набор линейных отображений удовлетворяющих условию (3). Положим Тогда является правым -модулем, умножение на скаляры в котором задается соотношениями

Кроме того, и линейное отображение из индуцируемое умножением на совпадает с отображением и

Доказательство. Условия (4), продолженные по линейности, задают умножение элементов из на скаляры из В. Выполнение законов дистрибутивности из определения модуля вытекает из природы процесса продолжения и линейности отображений Закон ассоциативности для умножения на скаляры следует из (1) и (2), если учесть, что отображает и аннулирует Наконец, как следует из (1) и (4), для

всех имеем Единственное утверждение, которое не является прямым следствием (4), состоит в том, что Это равенство вытекает из предположения о том, что система удовлетворяет условию

Лемма доставляет способ построения всех -модулей, исходя из набора векторных пространств и линейных отображений менаду некоторыми из этих пространств. Естественно задать вопрос, как выражаются в этом контексте гомоморфизмы модулей.

Пусть гомоморфизм конечно порожденных -модулей. Тогда так что ограничение является линейным отображением из Кроме того, отображает поэтому 0,- индуцирует линейное отображение Для обозначим через отображения, индуцируемые умножением на Если то а значит, Обратно, любая система линейных отображений, удовлетворяющая этому условию перестановочности, приводит к гомоморфизму модулей.

Лемма с. Пусть наборы линейных отображений такие, что для выполняется условие

Тогда существует гомоморфизм -модулей такой, что для всех Гомоморфизм является изоморфизмом в том и только том случае, если все отображения являются изоморфизмами.

Доказательство. Определим линейные таким образом, чтобы диаграмма

была коммутативной. Это возможно ввиду того, что короткие точные последовательности векторных пространств расщепляются. Если и то из (5) получаем, что

Таким образом, является гомоморфизмом -модулей Если отображения изоморфизмы, то также изоморфизм в силу -леммы для коротких последовательностей. Отсюда легко следует, что является изоморфизмом в том и только том случае, когда все изоморфизмы.

Следует сделать небольшое предостережение. Лемма с является теоремой существования; в общем случае гомоморфизм не единствен, причем канонического способа его построения не существует.

Упражнения

(см. скан)