§ 19.5. Структура группы ...

Если совершенное поле, то каждое его конечное расширение является сепарабельным и потому вложено в расширение Галуа В этом случае следствие можно уточнить:

В этом параграфе мы определим строение относительных групп Брауэра в случае, когда расширение Галуа.

Лемма а. Если расширение Галуа, то также расширение Галуа и отображение -изоморфизм между группой и группой

Доказательство. Отождествим поля с подполями поля Так как элементы множества трансцендентны над а каждый элемент из К алгебраичен над то Кроме того, конечномерная -алгебра, содержащаяся в Следовательно, -поле, содержащее поле К и элемент Отсюда вытекает, что Поэтому наша лемма является следствием леммы

Часто бывает удобно отождествлять группы Галуа Если то действие автоморфизма о на полином задается формулой

Доказательство следующего предложения опирается на три стандартных теоремы о группах когомологий. Мы только сформулируем эти результаты; наброски их доказательств приведены в упражнениях.

Лемма Шапиро. Пусть подгруппа конечной группы Для всякого правого -модуля рассмотрим правый -модуль с операцией умножения на скаляр для всех Если отображение определено правилом то X — гомоморфизм

физм правых -модулей и композиция

гомоморфизма с отображением ограничения есть изоморфизм для всех и (модули и являются бимодулями при тривиальном действии групп слева).

Лемма Пусть X — конечное множество, на котором конечная группа действует транзитивно Определим правый -модуль где структура модуля определяется действием группы на множестве Зафиксируем элемент и пусть подгруппа группы оставляющая элемент неподвижным. Пусть кольцо рассматривается как правый -модуль при тривиальном действии группы Тогда (изоморфизм правых -модулей).

Лемма с. Если конечная группа и на поле задана -бимодульная структура, индуцируемая тривиальным действием группы слева и справа, то для всех

Формулировку и доказательство нашего основного утверждения можно упростить, если применить специальные обозначения. Для поля F обозначим через множество унитарных неприводимых полиномов кольца

Предложение (Ауслендер-Брюмер-Фаддеев). Пусть расширение Галуа с Для каждого полинома выберем полином который делит в и положим Тогда

Доказательство. По лемме а и теореме 14.2 Основная теорема арифметики полиномиальных алгебр состоит в следующем: здесь мы перешли от мультипликативной записи к аддитивной. Прямую сумму (В можно представить в виде где является -модулем. Следовательно,

(см. упр. 2 из § 11.2). В соответствии с леммой Тогда из леммы Шапиро следует, что Точная последовательность тривиальных -бимодулей приводит к следующему отрезку длинной точной последовательности когомологий: Так как в силу леммы с то Наконец, поскольку действие группы на модуль тривиально. Действительно, дифференцирования кольца это в точности групповые гомоморфизмы, и единственным внутренним дифференцированием является 0. Собирая эти изоморфизмы, получаем

Группы из предыдущего предложения зависят от выбора неприводимого делителя полинома в кольце Но так как расширение Галуа, то выбор различных неприводимых делителей приводит к сопряженным подгруппам группы Таким образом, группа с точностью до изоморфизма зависит только от полинома Пользуясь теоремой двойственности для абелевых групп, можно легко показать, что на самом деле где коммутант группы

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)