§ 13.2. Поля разложения

Алгебра вещественных кватернионов при расширении основного поля до С перестает быть алгеброй с делением, поскольку ввиду предложения 1.6 — это просто матричная алгебра над Это

явление представляет особый интерес для теории центральных простых алгебр. Оно дает ключ к построению всех таких алгебр.

Определение. Пусть Расширение поля F называется полем разложения алгебры А, если существует изоморфизм F-алгебр где

Напомним, что через обозначается алгебра т. е. F-алгебра, полученная из с помощью расширения поля скаляров с F до Мы будем часто говорить, что расщепляет если поле разложения алгебры

Нередко оказывается полезной иная характеризация полей разложения.

Предложение а. Пусть алгебра имеет степень Тогда для расширения поля F следующие условия эквивалентны:

(i) Е - поле разложения

(ii) существует гомоморфизм F-алгебр ;

(iii) существует гомоморфизм -алгебр такой, что (т. е. порождает -пространет во ;

(iv) для некоторого натурального числа существует гомоморфизм F-алгебр такой, что

Доказательство. Если поле разложения алгебры то композиция отображений является гомоморфизмом F-алгебр. Предположим, что гомоморфизм F-алгебр. Через В обозначим рассматриваемую как F-алгебру. Тогда причем -центральная простая алгебра и Ввиду предложения 12.4а В частности, Очевидно, что из условия (iii) вытекает Наконец, если условие (iv) выполнено, то в силу предложения 12.4а существует гомоморфизм F-алгебр Следовательно, поле разложения алгебры

Поля разложения центральных простых F-алгебр тесно связаны с группой Брауэра поля Здесь удобно ввести одно обозначение, которое будет широко использоваться в следующей главе.

Пусть поле расширение поля Обозначим гомоморфизм вложения через . Тогда х индуцирует гомоморфизм групп Ядро гомоморфизма х называется относительной группой Брауэра. расширения и обозначается через

Следующая лемма является переформулировкой определения поля разложения на языке групп Брауэра.

Лемма. Пусть и расширение поля Тогда является полем разложения алгебры. А в том и только том случае, когда

Если расширения с соответствующими гомоморфизмами вложения и то гомоморфизм вложения Поскольку то Лемма, таким образом, приводит к следующему полезному утверждению.

Следствие. Если поле разложения алгебры то каждое поле, являющееся расширением поля расщепляет А.

О подполях полей разложения известно очень мало. Заключительное предложение этого параграфа является одним из немногочисленных образцов теорем о таких подполях.

Предложение Пусть поле разложения алгебры Тогда существует подполе поля которое конечно порождено над F и расщепляет А.

Доказательство. В силу предложения а можно считать, что является подалгеброй в где Пусть -базис F-алгебры и Кроме того, так как то существуют элементы такие, что Следовательно, -матрицы и взаимно обратны. Если поле, порожденное над F элементами то для всех Поэтому Ввиду предложения расщепляет алгебру

Может сложиться впечатление, что поле из предложения можно выбрать алгебраическим над Упражнение 2 показывает, что это не так.

Упражнения

(см. скан)