Р-последовательность 
называется расщепляющейся, если существует такой гомоморфизм 
-моду-лей 
что 
По лемме 5.4а последовательность 2 расщепляется тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм 
со свойством 
Будем обозначать класс всех 
-последовательностей через 
Можно естественным образом ввести понятие морфизма последовательностей, превращающее 
в категорию. Пусть 
— две 
-последовательности. Тогда морфизмом 
между ними называется гомоморфизм 
-модулей 
такой, что диаграмма
коммутативна. Условие коммутативности сводится к тому, чтобы 
ибо тогда 
Ясно, что композиция морфизмов является морфизмом, а морфизм 
обладает обычными свойствами тождественного морфизма последовательности 2:
Терминология, относящаяся к гомоморфизмам модулей, будет применяться и к морфизмам объектов из 
В частности, морфизм 
будет называться расщепляющейся инъекцией или расщепляющейся сюръекцией, если 
(соответственно 
для некоторого морфизма 
В этом случае 
очевидно, является расщепляющимся инъективным (сюръективным) гомоморфизмом модулей. Для расщепляющихся сюръекций верно также обратное утверждение. В самом деле, если 
удовлетворяет условию 
то 
так что 
является морфизмом 
-последовательностей 
В частности, гомоморфизм 
является изоморфизмом в 
тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом модулей.
Лемма. Пусть 
некоторая 
-последовательность. Предположим, что 
Положим 
обозначим через 
естественную проекцию. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) 
является изоморфизмом;
(ii) существует единственный сюръективный гомоморфизм 
такой, что 
Таким образом, последовательность
является 
-последовательностью, а 
есть морфизм 
(iii) если последовательности 
расщепляются для всех 
то последовательность 2 также расщепляется.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно, а утверждение (ii) следует из определений с учетом сюръективности 
и 
и того факта, что 
Доказывая 
предположим, что все последовательности 
расщепляются, т. е. существуют такие гомоморфизмы 
что 
Пусть 
гомоморфизм вложения, отвечающий разложению 
Определим х так 
Если и 
то 
для 
Таким образом,
С учетом того, что 
гомоморфизм и 
отсюда следует, что 
Тем самым расщепляемость последовательности 2 установлена.
Пусть 
— некоторая 
-последователь-ность. Будем говорить, что 2 является простой, если она не расщепляется и 
-модуль 
является неразложимым. Такой выбор терминологии объясняется тем, что для последовательностей с такими свойствами имеет место аналог леммы Шура (см. следствие 7.4а).
Предложение. Если 
и 
не является проективным, то существует простая 
-последовательность.
Доказательство. В силу того что модуль 
конечно порожден, существует свободный 
-модуль 
вместе с сюръективным гомоморфизмом 
Положим 
Тогда последовательность 
является 
-последовательностью, которая не может расщепляться; в противном случае модуль 
оказался бы прямым слагаемым свободного модуля 
т. е. проективным модулем. Из леммы вытекает существование такого неразложимого слагаемого 
модуля 
что
Под 
-последовательностью понимают короткую точную последовательность 
гомоморфизмов модулей, такую, что 
и отображение 
является вложением (следовательно, 
). Строго говоря, последовательность 
полностью определяется заданием одного гомоморфизма 
однако в развиваемой нами теории ядро 
гомоморфизма 
играет важную роль, и поэтому мы предпочитаем явно его указывать, несмотря на то что это приводит к несколько громоздким обозначениям.
где 
подходящий фактормодуль модуля 
некоторый его гомоморфизм, не является расщепляющейся. Очевидно, что последовательность 2 искомая. 