§ 9.2. Тензорные произведения алгебр

Если рассматривать -алгебры как -модули, то можно образовать их тензорное произведение Результаты настоящего параграфа показывают, что В становится -алгеброй при подходящем определении умножения и что эта алгебра обладает внутренней характеризацией в терминах подалгебр.

Предложение а. Если некоторые R-алгебры, то на модуле В существует операция умножения, удовлетворяющая условию

Это умножение ассоциативно и

Доказательство. При В обозначим через и эндоморфизмы действующие как умножение слева на соответственно. По лемме эндоморфизм удовлетворяет условию

Кроме того, соответствие является билинейным отображением из в Таким образом, существует такой гомоморфизм -модулей

В), что Определим отображение формулой Ввиду того что гомоморфизм -модулей и это отображение билинейно, т. е. является операцией умножения на По построению что доказывает (1). Из (1) и леммы 1.2 легко следует, что это умножение ассоциативно. Кроме того, в силу (1) и леммы 9.1а элемент является единичным в

Следствие а. Пусть некоторые R-алгебры. Тогда выполняются следующие утверждения:

В этом следствии знак означает изоморфизм в категории -алгебр. Соответствующие изоморфизмы для -модулей были получены в предложении Доказательство того, что отображения, описанные в предложении являются гомоморфизмами алгебр, использует формулу (1) и лемму 9.1а. Мы оставляем детали в качестве упражнения (см. упр. 1).

Лемма а. Отображения определяемые формулами являются гомоморфизмами алгебр, удовлетворяющими следующим условиям:

(i) порождает как R-алгебру,

(ii) для всех Если являются F-алгебрами, то отображения инъективны; кроме того, если -базис алгебры А, а -базис алгебры В, то базис алгебры

Доказательство. Из билинейности операции и равенства (1) вытекает, что отображения являются гомоморфизмами алгебр. Согласно (1), что дает Последнее утверждение леммы является следствием предложения

Если X — подмножество алгебры А, то его централизатором в А называется множество

Это понятие будет часто использоваться в последующих главах. Поэтому удобно зафиксировать ряд очевидных следствий этого определения.

Лемма Пусть два подмножества алгебры подалгебра в А. Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) является подалгеброй в А, содержащей центр

(iii) в том и только том случае, если в частности,

(v) тогда и только тогда, когда

Докажем теперь свойство универсальности тензорных произведений алгебр. Этот результат приводит нас к характеризационной теореме.

Предложение Пусть некоторые R-алгебры. Если такие гомоморфизмы алгебр, что

то существует единственный гомоморфизм алгебр , удовлетворяющий условию

для В частности,

Доказательство. Поскольку являются гомоморфизмами -модулей, отображение билинейно. Поэтому существует гомоморфизм -модулей, удовлетворяющий (2). В соответствии с (1) и (2) имеем

ибо Следовательно, гомоморфизм алгебр.

Следствие Если и гомоморфизмы алгебр, то также гомоморфизм алгебр. Если являются алгебрами над F и гомоморфизмы инъективны, то гомоморфизм также инъективен.

Следствие вытекает из леммы а и предложения

Предложение с. Пусть некоторые F-алгебры. Тогда в том и только том случае, если А содержит такие подалгебры что выполняются следующие условия:

(i) как F-алгебры,

(iii) существуют такие базисы алгебр соответственно, что множество образует базис в А.

Если алгебра А конечномерна, то условие (iii) можно заменить следующим:

(iv) А порождается как F-алгебра объединением

Доказательство. Согласно лемме а, условия являются необходимыми. Предположим теперь, что в А имеются подалгебры удовлетворяющие (i) и (ii). Пусть изоморфизмы из п. (i). Тогда из (ii) и предложения b вытекает существование такого гомоморфизма алгебр что для и Ввиду леммы а и условия отображает базис алгебры биективно на базис алгебры А и потому является изоморфизмом. Если алгебра А конечномерна и выполняется условие то гомоморфизм сюрвективен ввиду того, что

образ является подалгеброй в содержащей порождающее ее множество Инъективность 8 вытекает из того, что по лемме а.

Пример. Пусть конечные группы и их прямое произведение. Тогда если некоторое поле, то

Доказательство. Положим Рассмотрим как подгруппы группы так что любой элемент группы однозначно представляется в виде где Пусть подпространство, натянутое на элементы подпространство, натянутое на элементы Ясно, что являются подалгебрами в А, такими, что Ввиду того что для имеем включение Очевидно, что объединение порождает как алгебру над Наконец, Таким образом, согласно предложению с,

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)