§ 1.3. Алгебры эндоморфизмов

Пусть — некоторая -алгебра, а правые (или левые) -модули. Будем обозначать множество всех -гомомор-физмов через Это множество имеет структуру -модуля, сложение и умножение на скаляры в котором определяется следующим образом: Если совпадает с то композиция гомоморфизмов задает ассоциативное билинейное умножение, относительно которого множество становится -алгеброй с единичным элементом Мы будем писать вместо и называть эту алгебру алгеброй эндоморфизмов модуля

Если левые -модули, то иногда вместо удобнее писать где Ногпл Однако мы обычно не будем придерживаться этого соглашения. Функции и отображения будут записываться слева от объекта, на который они действуют. Исключения из этого правила будут оговариваться.

Действие алгебры на определяет на структуру левого Ел -модуля. Тем самым правый -модуль получает структуру Ел -бимодуля; в самом деле, условие для выполняется благодаря тому, что есть гомоморфизм -модулей, а условие для выполняется по определению умножения на скаляры в Если левый

А-модуль, то, записывая эндоморфизмы справа, можно рассматривать как -бимодуль.

Пусть некоторые -алгебры и произвольный -бимодуль. При определим отображение формулой Тогда действительно, аддитивность очевидна, а условие выполняется в силу Аналогично при определим положив Тогда

Легко видеть, что отображение является кольцевым гомоморфизмом; более того, из условий и 1.1 (3) вытекает, что оно в действительности является гомоморфизмом -алгебр: Ххаи при

Отображение оказывается не гомоморфизмом, а антигомоморфизмом. Действительно, рхуи рурхи. Часто бывает полезно считать его гомоморфизмом в Ел алгебры В, противоположной к алгебре В. Напомним, что В — это -алгебра, получаемая из В обращением порядка сомножителей в произведении.

Будем обозначать гомоморфизм и антигомоморфизм через соответственно.

Если левый -модуль, то в силу коммутативности кольца R его можно рассматривать как Л--бимодуль. В этом случае X является представлением алгебры т. е. гомоморфизмом этой алгебры в где рассматривается как -модуль. Обратно, если -некоторое представление, то является левым -модулем относительно операции для Гомоморфизм ассоциированный с этой -модульной структурой на является, конечно, исходным представлением Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями алгебры и левыми -модулями. Аналогичная связь существует между правыми -модулями и представлениями алгебры

Стандартное вычисление показывает, что если два гомоморфизма алгебры т. е. два представления на одном и том же R-модуле, то они индуцируют на изоморфные -модульные структуры тогда и только тогда, когда существует обратимый элемент такой, что для всех Более общо, гомоморфизм из с модульной структурой, задаваемой в с модульной структурой, задаваемой существует в том и только том случае, когда имеется эндоморфизм со свойством для всех Говорят, что такое отображение сплетает представления

Любую R-алгебру А ввиду закона ассоциативности и тождества можно рассматривать как -бимодуль. Соответствующие гомоморфизмы из называются соответственно левым и правым регулярными представлениями алгебры

Предложение. Правое и левое регулярные представления R-алгебры А являются биекциями. В частности, А Ел как R-алгебры, где А рассматривается как правый -модуль.

Доказательство. Как мы уже отмечали, является гомоморфизмом -алгебр; его ядро равно нулю, ибо А содержит единичный элемент. Далее, где Таким образом, представление X сюръективно. Аналогичное доказательство показывает, что и представление биективно.

Упражнение

(см. скан)