§ 12.7. Теорема о двойном централизаторе

Термин «теорема о двойном централизаторе» (сокращенно ) обычно применяется к классу утверждений, описывающих взаимоотношение подалгебр В алгебры с их вторыми централизаторами Как следует из определения централизатора, всегда Обычно это включение строгое. В теоремах о двойном централизаторе формулируются условия, при которых имеет место совпадение

В этом параграфе мы докажем классическую Более общий результат (с наброском другого доказательства) содержится в упр. 5.

Докажем вначале одно небольшое обобщение второй части леммы 12.1.

Лемма. Пусть А — алгебра над полем ее подалгебра. Рассмотрим А как правый В -модуль, воспользовавшись гомоморфизмом Тогда левое регулярное представление алгебры А отображает изоморфно на

Доказательство. Пусть Тогда Следовательно, Если то Значит, Тогда из предложения 1.3 следует, что X отображает изоморфно на

Теорема. Пусть и В — простая подалгебра алгебры А. Тогда

(i) алгебра проста,

(iv) если алгебра В центральна, то алгебра центральна и проста и

Доказательство. В силу леммы алгебра проста. Она также артинова, поскольку конечномерна над полем Пусть минимальный правый идеал алгебры . В силу следствия 3.5а где алгебра с делением Следовательно, см. пример 3.3. В частности,

Так как конечномерный В -модуль, то из предложения вытекает, что для подходящего Отсюда в силу предыдущей леммы Следовательно, алгебра проста и

Исключая числа из равенств (1), (2) и (3), получим утверждение Поскольку алгебра проста, то можно в утверждении (ii) заменить В на и тогда получим Следовательно, так как Если В — центральная простая алгебра, то в силу предложения 12.4а и Кроме того, так что алгебра центральна и проста.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 12

Материал этой главы является классическим, таково и наше изложение его. Для простоты мы внесли условие конечномерности в предположения теорем Джекобсона — Бурбаки, Нётер — Сколема и теоремы о двойном централизаторе. Более общие результаты можно найти в большинстве книг по некоммутативной теории колец (например, в [41], [46] и [55]). Некоторые обобщения были в набросках приведены в упражнениях к § 12.6, 12.7.