168. Повторные пределы.

Кроме рассмотренного выше предела функции при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности, в том или ином порядке. Первый предел называется ратным (или двойным, тройным и т. д. - при а последний - повторным.

Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных Допустим к тому же, что область изменения переменных х, у такова, что х (независимо от может принимать любое значение в некотором множестве X, для которого а служит точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогично у (независимо от изменяется в множестве с не принадлежащей ему точкой сгущения Такую область можно было бы символически обозначить, как Например,

Если при любом фиксированном у из существует для функции (которая оказывается функцией лишь от предел при то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от наперед фиксированного у:

Затем можно поставить вопрос о пределе функции при

— это и будет один из двух повторных пределов. Другой получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке:

Не следует думать, что повторные пределы эти необходимо равны. Если, например, в области положить

и взять то получим:

в то время как

Может случиться также, что один из повторных пределов существует, а другой - нет. Так будет, например, для функций:

в обоих случаях здесь существует повторный предел но нет повторного предела (а в последнем примере - нет даже простого предела ).

Эти простые примеры показывают, насколько осторожным нужно быть при перестановке двух предельных переходов по разным переменным: не раз ошибочные умозаключения проистекали именно от такой незаконной перестановки. В то же время многие важные вопросы анализа связаны именно с перестановкой предельных переходов, но, разумеется, всякий раз дозволительность перестановки должна быть особо обоснована.

Один из путей к такому обоснованию открывает следующая теорема, которая в то же время устанавливает связь между двойными и повторными пределами:

Теорема. Если 1) существует (конечный или нет) двойной предел

и 2) при любом у из существует (конечный) простой предел по х

то существует повторный предел

и равен двойному.

Докажем это для случая конечных А, а и Согласно определению п° 163, по заданному найдется такое что

лишь только и (причем х берется из а у из Фиксируем теперь у так, чтобы выполнялось неравенство и перейдем в (9) к пределу, устремив х к а. Так как, ввиду 2), при этом стремится к пределу то получим

Вспоминая, что у здесь есть любое число из подчиненное лишь условию приходим к заключению, что

Если, наряду с условиями 1) и 2), при любом х из X существует (конечный) простой предел по у

то, как следует из уже доказанного, если х и у обменять ролями, - существует также и второй повторный предел

и равен тому же числу этом случае оба повторных предела равны.

Из доказанной теоремы сразу ясно, что в примерах 1) и 2) двойной предел не существует (почему ). В этом легко убедиться и непосредственно.

В примере 3), наоборот, двойной предел существует: из неравенства

усматриваем, что он равен 0. Этот пример показывает, что условие 1) теоремы не влечет за собой условия 2).

Не следует думать, однако, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных: в примере 4) предыдущего п° оба повторных предела существуют и равны 0, хотя двойного предела нет.