Глава 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В этой главе мы изучим операцию, обратную по отношению к операции дифференцирования, т. е. займемся вопросом о восстановлении функции по известной производной этой функции.

Изучение этого вопроса естественно приведет нас к понятиям первообразной и неопределенного интеграла (уже упоминавшимся в гл. 1).

Откладывая до гл. 9 вопрос о существовании первообразно и неопределенного интеграла, мы изучим в настоящей главе важнейшие методы интегрирования и выделим классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции.

§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Понятие первообразной функции.

К числу важных задач механики относятся задача об определении закона движения материальной точки по заданной ее скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному ее ускорению

Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.

Переходим к рассмотрению этой проблемы.

Определение. Функция называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции на интервале если в любой точке х интервала функция дифференцируема и имеет производную равную

Замечание. Аналогично определяется первообразная для функции на бесконечной прямой и на полупрямой.

Примеры. 1) Функция является первообразной для функции на интервале

1), ибо в любой точке этого интервала

2) Функция является первообразной для функции на бесконечной прямой ибо в каждой точке х бесконечной прямой

3) Функция является первообразной для функции на открытой полупрямой ибо в каждой точке этой полупрямой

Если является первообразной для функции на интервале то, очевидно, и функция где С — любая постоянная, является первообразной для функции на интервале

Естественно, возникает вопрос, как связаны между собой различные первообразные для одной и той же функции

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 8.1. Если — любые первообразные для функции на интервале то всюду на этом интервале где С — некоторая постоянная.

Другими словами, две любые первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную.

Доказательство. Положим Так как каждая из функций дифференцируема на интервале то в силу теоремы 5.5 и функция дифференцируема на интервале причем всюду на этом интервале

1 § 4 гл. 6 была доказана теорема 6.5 следующего содержания: если функция дифференцируема всюду на интервале и если всюду на этом интервале то функция является постоянной на интервале

Из этой теоремы получим, что что и требовалось доказать.

Следствие. Если — одна из первообразных функций для функции на интервале то любая первообразная для функции на интервале имеет вид , где С — некоторая постоянная.