10.12. МОДЕЛЬ С КВАДРАТИЧНЫМ СПЛАЙНОМ

Уменьшение наложения частот обеспечивается сплайнами более высоких порядков, позволяющими получить лучшую точность при использовании вариационного принципа. Алгоритм решения уравнения Пуассона можно получить из соотношений (10.30) или из (10.33) и (8.54) для Для имеем

Сумму можно определить, вычислив вторую производную формулы (4.3.92) из работы [Abramovitz and Stegun, 1964]. Если при моделировании используются методы преобразования Фурье, то это все, что необходимо для получения алгоритма. Новый множитель в (10.55) добавляется для компенсаций низкочастотного фильтрующего сглаживающего эффекта по сравнению с

При малых относительная погрешность в равна так что погрешность второго порядка в исчезает и остается только погрешность четвертого порядка, что показывает, как могут быть уменьшены погрешности, вызыванные при больших длинах волн.

Коэффициенты разностного уравнения являются коэффициентами разложения (10.55) по степеням

Это разностное уравнение — четвертого порядка, так что в непериодической конечной системе необходимы еще два граничных условия в дополнение к двум имеющимся. Их вид зависит от изменения интерполяционной формулы у краев системы.

Сила самовоздействия в этом примере определяется формулами (10.48) и (10.49), но с меньшими коэффициентами. В общем, все недостатки, вызванные наложением частот (неустойчивость, несохранение момента, сеточный шум), уменьшаются.

Возвращаясь к вопросу колебаний горячей плазмы, следует отметить, что члены с наложением дают вклад порядка тогда как погрешность в имеет четвертый порядок. Опять получаем наилучшую точность комплексной частоты при другом алгоритме решения уравнения Пуассона, чем при использовании вариационного принципа.

Задача

(см. скан)