10.2. НАРУШЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В КОДАХ С СОХРАНЕНИЕМ ИМПУЛЬСА

Рассмотрим несколько комбинаций сеточных величин, являющихся функциями энергии поля. Наиболее часто используются две такие комбинации

Можно быстро установить, что любая из них, а они обычно не равны, при сложении с кинетической энергией не является постоянной независимо от возможной точности интегрирования по времени. Для того чтобы понять, почему сумма энергий не остается строго постоянной, а часто лишь очень близка к этому, выразим скорость ее изменения через плотность тока частиц и силу действующую на частицы, ограничившись одномерным случаем:

тогда как

а для реальной плазмы последнее соотношение преобразуется в Подынтегральные выражения в (10.2) — (10.4) равны только при и это нельзя исправить переопределением так как они должны быть периодическими. Только в первой зоне можно положить тогда как интегралы берутся по всем k.

Например, предположим, что мы используем трехточечное разностное представление для и двухточечное для V, когда Тогда для в равенстве (10.2) имеем

и для (10.3) получаем

В зависимости от выбранной формы записи мы или занижаем или завышаем значение электрической энергии на коротких длинах волн.

Хотя мы убедились, что микроскопически энергия не сохраняется, во многих алгоритмах моделирования с сохранением импульса наблюдаемое макроскопическое изменение полной энергии достаточно мало по сравнению с другими важными энергетическими величинами, например с энергией поля, которая в горячей плазме существенно меньше кинетической энергии частиц. Когда это имеет место, то предполагается, что наибольший энергообмен между полями и частицами имеет место при больших длинах волн. Так как в этом случае модель наиболее точно описывает плазму, то хорошая проверка сохранения энергии вызывает доверие к моделированию.

Задача

(см. скан)